×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sul metodo delle minime potenze ponderate e sul metodo di Ritz per il calcolo approssimato nei problemi della fisica-matematica. (Italian) JFM 54.0504.01
Verf. beschäftigt sich mit der approximativen Herstellung der Lösungen physikalischer Randwertprobleme und der Abschätzung der Güte der Annäherung. Sein Verfahren ist wesentlich allgemeiner als das Ritzsche und beruht auf Folgendem: Es sei etwa die Differentialgleichung \(F(y)=0\) mit den Randbedingungen \(F_i(y)=0\) \((i=1,\dots,m)\) zu lösen, so setzt man das Integral \[ J(y)=\int_B | F(y)|^p d \omega+\sum_{i=1}^m \int_R | F_i(y)|^{p_i}ds \] an, wo \(B\) den Bereich der unabhängigen Variabeln, \(R\) den Rand, \(p, p_i\) beliebige positive Zahlen sind, und versucht \(J(y)\) zum Minimum (=0) zu machen. Ist \(\varphi_0,\dots,\varphi_n\) irgend ein Funktionensystem, zu dem die Konstanten \(a_{0n},\dots,a_{nn}\) derart bestimmt werden können, daß für \[ y_n=a_{0n}\varphi_0+\cdots +a_{nn}\varphi_n \] die Grenzbeziehung \[ \lim J(y_n)=J(y)=0 \] gilt, so berechnet man die Konstantenwerte \(A_{0n},\dots,A_{nn}\) aus der Bedingung, daß für \[ Y_n=A_{0n}\varphi_0+\cdots +A_{nn}\varphi_n \] das Integral \(J(Y_n)\) ein Minimum sei. Dann ist auch um \(J(Y_n)=0\), und man kann für \(Y_n-y\) eine Abschätzung gewinnen. Verf. macht zunächst eine Anwendung auf die inhomogene Fredholmsche Integralgleichung; ist Eins kein Eigenwert derselben, so liefert obige Methode mit \(p=2\) eine Lösung \(Y_n\), die im Mittel gegen \(y\) konvergiert. Als zweites Beispiel dient eine elliptische selbstadjungierte Differentialgleichung zweiter Ordnung in zwei Variablen bei vorgegebenen Randwerten; nimmt man wieder \(p = 2\), so erhält man eine im Mittel gegen \(y\) strebende Lösung. Schließlich wird die allgemeine selbstadjungierte lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung in einer Dimension bei beliebigen Exponenten \(p, p_i\) behandelt. Die Abschätzungen basieren auf der Hölderschen Ungleichung und ergeben, falls Eins kein Eigenwert ist, eine gleichmäßige Konvergenz von \(Y_n\) und \(Y_n'\) gegen \(y\) und \(y'\), sowie ein exaktes Maß der Approximation; sind im besonderen die Koeffizienten der Gleichung alle analytisch, so ist der Fehler bezüglich \(\frac 1n\) von unendlich hoher Ordnung. Die Ritzsche Methode ist ein Spezialfall der geschilderten, der aber, wie Verf. an Beispielen zeigt, zu wesentlich schlechteren Annäherungen und mühsameren Rechnungen führt. (IV 7, IV 14.)

Subjects:
Vierter Abschnitt. Analyis. Kapitel 13. Potentialtheorie. Theorie der partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] M. Picone,Nuove osservazioni su alcuni metodi d’approssimazione dell’analisi [Journal de Mathématiques pures et appliquées (fondé parLiouville), t. I della Serie IV (1923), pp. 335–391].
[2] L’introduzione di tale integrale anche in queste ricerche nonè dovuta ad un vano desiderio di lusso analitico; essa, al contrario, risponde ad una constatata necessità nelle trattazioni di molte questioni di Fisica-matematica, nelle quali apporta brillanti semplificazioni e rapide generalizzazioni. Cfr. in proposito l’efficace esposizione che trovasi nel recente libro diRichard v.Mises:Die Differential-und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, Erster Teil (Braunschweig, Vieweg & Sohn, 1925), p. 33.
[3] Cfr.D. Jackson,A generalized problem in weighted approximation [Transactions of the American Mathematical Society, vol. 26 (1924), pp. 133–145]; M.Picone,Nuovo criterio sufficiente per l’esistenza di un estremo per una funzione di punto ed alcune sue applicazioni [Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, vol. VI (1927), pp. 128–133].
[4] Questo teorema trovasi enunciato per la prima volta, in un caso particolare, nella mia nota:M. Picone,Condizioni necessarie e sufficienti per l’esistenza e calcolo di una soluzione periodica per il più generale sistema di equazioni differenziali ordinarie [Rendiconti della R. Accademia Nazionale dei Lincei, vol. XXXIII della serie 5a (1o sem. 1924), pp. 342–345].
[5] Vi è però la nota del Sig.N. Kryloff,Approssimate solutions of a system of differential equations of Mathematical Physics by least squares [Bulletin of the American Mathematical Society, vol. XXXII (1926), pp. 346–350]
[6] I lavori del Sig. N.Kryloff trovansi esposti organicamente e rielaborati nella sua Memoria:N. Kryloff,Sur différents procédés d’integration approchée en Physique mathématique [Annales de la Faculté des Sciences de l’Université de Toulouse, t. XXVIII (1926), pp. 1–34].
[7] Cfr., per esempio,Ch. J. de la Vallé-Poussin,Cours d’Analyse infinitésimale, t. II, 2me édition (Paris, Gauthier-Villars, 1913), pp. 126–137.
[8] Cfr.Ch. J. de la Vallée-Poussin,Lepons sur l’approximation des fonctions d’une variable réele (Paris, Gauthier-Villars 1919).
[9] M. Picone,Maggiorazione degli integrali delle equazioni lineari ellittico-paraboliche alle derivate parziali del second’ordine [Rendiconti della R. Accademia Nazionale, dei Lincei, vol. V della serie 6a (1o sem. 1927), pp. 138–143. · JFM 53.0456.02
[10] M. Picone,Teoremi di media caratteristici per le soluzioni di talune equazioni alle derivate parziali [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. LI (1927), pp. 25–37], p. 27. · JFM 53.0464.03
[11] C. Somigliana eF. Vercelli,Sulla previsione matematica della temperatura dei grandi trafori alpini [Memoria della Reale Accademia delle Scienze di Torino, t. LXIII della serie II (1913), pp. 327–377]; M.Brillouin,La métbodes des moindres carrés et les équations aux dérivées partielles de la Physiqué-mathématique [Annales de Physique, t. VI della serie 9a (1916), pp. 137–223]; M.Picone,Nuovo methodo d’approssimazione per la soluzione del problema di Dirichlet [Rendiconti della R. Accademia Nazionale dei Lincei, vol. XXXI della serie 5a (1o sem. 1922), pp. 357–359].
[12] Cfr.M. Picone, [Loc. cit. 13).c)]. Per il caso dei polinomii armonici in due variabili l’indicata completezza è stata anche asserita daS. Bernstein,Sur le principe di Dirichlet et le développement des fonctions harmoniques en séries de polynomes [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences de Paris, t. 148 (1er semestere 1909), pp. 1306–1308].
[13] M. Picone,Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale lineare ordinaria del secondo ordine [Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa, vol. XI (1910), pp. 3–141], pp. 73–126.
[14] Cfr.W. Ritz,Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rändern [Annalen der Physik, vierte Folge, Bd. XXVIII (1909), pp. 737–786];Philipp Frank,Die Differential-und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, Zweiter physikalischer Teil (Braunschweig, Vieweg & Sohn, 1927), pp. 718–729. · JFM 40.0881.02
[15] W. Ritz,Über eine neue Methode zur LÖsung gewisser VAriations-probleme der mathematischen Physik [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 135 (1909), pp. 1–61];Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Randwertaufgaben [Göttingen Nachrichten, Mathematisch-physikaiische Klasse, 1908, pp. 236–248];Gesammelte Werke (Paris, Gauthier-Villars, 1911), pp. 192–264.
[16] Cfr.M. Mason,On the boundary value problems of linear ordinary differential equations of second order [Transactions of the American Mathematical Society, vol. 7 (1906), pp. 337–360]; M.Prcone, Loc. cit. 16) pp. 67–72. · JFM 37.0385.04
[17] IlCourant nel libro divon Mises [Loc. cit. 2), a pag. 679
[18] Sono dunque erronee le affermazioni contenute nelle prime righe della nota del Sig.M. Krawtchouk,Sur la méthode de N.Kryloff pour l’intégration approchée des équations de la physique mathématique [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences de Paris, t. 183 (1926), pp. 474–476].
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.