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Démonstration du théorème de M. Hilbert sur la nature analytique des solutions des équations du type elliptique sans l’emploi des séries normales. (French) JFM 54.0506.02

Die Arbeit enthält die mit gewissen Ausführungen versehene Übersetzung des (seinerzeit in russischer Sprache veröffentlichten) zweiten Beweises für den analytischen Charakter der Lösungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus [Charkow Ges. (2) 11, 1–164 (1908; JFM 39.0431.02)]. Wie beim ersten Beweise [Math. Ann. 59, 20–76 (1904; JFM 35.0354.01)]; vgl. auch T. Radó [Math. Z. 25, 514–589 (1926; JFM 52.0480.05)] wird das Ziel dadurch erreicht, daß man mittels sukzessiver Approximation eine Lösung \(u\) der Differentialgleichung bestimmt, welche mit der (beliebig) vorgegebenen, dreimal stetig differenzierbaren Lösung \(\zeta\) auf der Berandung eines gewissen, hinreichend kleinen Gebietes \(\mathfrak G\) übereinstimmt, daß man ferner \(u \equiv \zeta\) (in \(\mathfrak G\)) nachweist und schließlich aus der Konstruktion von \(u\) entnimmt, daß \(u\) analytisch in den Variablen ist. Beim ersten Beweise war \(\mathfrak G\) als Kreis gewählt; hier ist \(\mathfrak G\) ein Kreisring (mit hinreichend kleinen Radien). Dadurch vermeidet man gewisse Schwierigkeiten, welche beim ersten Beweise (wegen der Ausnahmestellung des Nullpunktes in Bezug auf Polarkoordinaten) auftreten. Ein wesentliches Hilfsmittel sowohl beim Konvergenz- als beim Eindeutigkeitsbeweise bilden hier die Abschätzungen mittels des sogenannten “trigonometrischen Moduls” einer Funktion. Im übrigen muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden.

MSC:

35Jxx Elliptic equations and elliptic systems
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