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Zur Theorie der algebraischen Potentialfunktionen des dreidimensionalen Raumes. I, II. (German) JFM 54.0514.02
Math. Ann. 99, 629-659 (1928); 101, 534-558 (1929).
Diese Arbeit hängt innig mit der in M. Z. 24 (1926), 629-659 (F. d. M. 52) erschienenen Abhandlung desselben Verf. “Zur Theorie der ein- und mehrwertigen harmonischen Funktionen des dreidimensionalen Raumes” zusammen. Der zweite (Schluß-)Teil ist in Math. Ann. 101 (1929), 534-558 (F. d. M. \(55_{\text{I}}\)) erschienen. Die einzelnen Abhandlungen sind eng miteinander verbunden, so daß die Lektüre einer späteren ohne Kenntnis der Hauptteile der vorhergehenden unmöglich ist. Aus demselben Grunde ist auch eine Besprechung jeder einzelnen Arbeit ziemlich aussichtslos; auch kann sie sich nur darauf beschränken, die Hauptgedankengänge und -ergebnisse der interessanten Untersuchungen des Verf. in kurzen Worten klar zu legen, da ein näheres Eingehen ungefähr dasselbe wäre, wie die Arbeiten mit möglichst wenig Formeln wiederzugeben. Ist doch Verf. selbst dazu gezwungen, in sein Vorwort eine Reihe von umfangreichen Formeln und Abbildungen aufzunehmen, um den Inhalt des Vorwortes einigermaßen verständlich zu machen.
Der Grundgedanke der Arbeiten ist folgender: Durch die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen ist im wesentlichen auch die Theorie der Potentialfunktionen von zwei reellen Veränderlichen miterledigt. Es wird versucht, ähnlich wie man die Potentialfunktionen von zwei reellen Veränderlichen auf den Körper der Funktionen einer komplexen Veränderlichen abbilden kann, nun auch die Potentialfunktionen von drei reellen Veränderlichen mit einem Funktionenkörper in Zusammenhang zu bringen und so ihre Theorie näher zu betrachten. Die Gesamtheit der Funktionen, die zu diesem Körper gehören, nennt Verf. die zugeordneten Funktionen. Eine solche Funktion ist eine Funktion einer komplexen Veränderlichen \(u=x+iy \cos t+iz \sin t\) und eines reellen Parameters \(t\), wobei \(x,y,z\) reelle Veränderliche bedeuten. Durch die Mittelbildung \[ F=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} fdt, \] die im wesentlichen auf E. T. Whittaker zurückgeht, gelangt man von der zugeordneten Funktion \(f\) zu einer Potentialfunktion \(F(x,y,z)\). Allerdings ist diese Zuordnung nicht eineindeutig.
In den einzelnen Arbeiten des Verfassers werden die Potentialfunktionen \(F\) untersucht (Singularitäten usw.), die man dadurch erhält, daß man für \(f\) verschiedene Funktionsklassen wählt (rationale, algebraische, Abelsche Fuktionen, Abelsche Integrale). Insbesondere wird die Frage erörtert, durch welche möglichst einfachen zugeordneten Funktionen man die algebraischen Potentialfunktionen in der angegebenen Weise darstellen kann. Speziell werden solche mit rationalen und algebraischen Zugeordneten untersucht. Der von Whittaker bei der Mittelbildung als Integrationsweg benützte Einheitskreis wird allgemein durch eine Jordankurve ersetzt. Ein vollkommen durchgerechnetes Beispiel, das auf elliptische Integrale führt, beschließ t die Arbeiten.

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References:
[1] Das Symbol der partiellen Differentiation (?) soll hier wie auch stets im folgenden eine Differentiation bedeuten, bei welchersämtliche unter dem Funktionszeichen auftretenden Veränderlichen als unabhängiges [der Relation P 2 (? k )nicht unterworfene] Variablen zu behandeln sind.
[2] Es soll darunter verstanden werden, daß die Kurve ? in der Euklidischen Ebene sich bewegen bzw. beliebig dariieren darf, ohne ihre Geschlecht zu ändern. ? muß derart gewählt werden, daßP 2 (U, ?) auf ? nirgends verschwindet.
[3] Fallen die beiden Durchstoßpunkte ? 1 (k) und ? 2 (k) zusammen, so muß man sie in einer in §3 näher angegebenen Weise doppelt zählen.
[4] Die ausführliche Darstellung der §§4 und 5 erscheint im Abschnitt II der Arbeit.
[5] In der Formel (6) § 1 der Arbeit I ist ein Druckfehler; es soll natürlich (|k|>s) und nicht (|k|<s) heißen. In diesen Paragraphen lassen wir den Indexq beiF fort. Dieser Index (vgl. Arbeit I S. 649 und 650) ist deswegen angebracht, weil man bei festemf je nach der Wahl vonx, y, z imallgemeinen zu verchiedenen PotentialfunktionenF a gelangt.
[6] Vgl. Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften, B. G. Teubner, Leipzig (1899-1916) 2, I. Teil, I. Hälfte. A. 3. G. Brunel, Bestimmte Integrale, § 15, S. 176, Zeile 6 und 12 von oben. Wir ersetzen die in der Enzyklopädie benutzten Größenp undq in (7a) durchn+v/2 undn?v/2, und in (7b) durchn+v?1/2 undn-v?1/2.
[7] Wegen hier eingeführten Bezeichnungen für die Kugelfunktionen vgl. Fuß-note, Cours de Physique Mathématique (1873), S. 645 der Arbeit I.
[8] Bei der Angabe eines Beispiels für die Linienpole ist in der Arbeit I ein Druckfehler; es soll sein \(\frac{{e^{i\phi } tg\frac{{{}^k\vartheta }}{2}}}{R}\) und nicht \(\frac{{e^{i\phi } tg\frac{{k\vartheta }}{2}}}{R}\) . Ferner S. 654 Zeile 2 von unten und S. 655 Zeile 2 von oben soll ess=?1 und nichts=1 heißen.
[9] Diese Voraussetzung ist ? wie wir im folgenden zeigen werden ? unwesentlich.
[10] Es wäre natürlich möglich, wie in (9) dieP(? q ) durch dieA k (s) auszudrücken; die so entstehende Formel ist aber sehr lang; wir verzichten daher auf ihre Wiedergabe.
[11] Das Zeichen ?? beif bedeutet, daß wir sie jetzt als Funktion vonx, y, z, \(\operatorname{Re} (\zeta )\) und \(\mathfrak{F}(\zeta )\) betrachten.
[12] Wir sagen: \(\mathfrak{S}\) umfaßt eine Geradenschar, wenn man \(\mathfrak{S}\) nicht auf einen Punkt zusammenziehen kann, ohne dabei jede Gerade der Schar zu schneiden. (Wie aus dem Beweis leicht zu ersehen ist, unterliegt \(\mathfrak{S}\) noch einer Beschränkung: \(\mathfrak{S}\) darf mitC k nur endlichviele Punkte gemeinsam haben.)
[13] Diese Wahl des Parameters ? stimmt nicht ganz mit der in der Arbeit I vorgenommenen überein. Die Formeln (17) und (18) unterscheiden sich dabei formell etwas von den entsprechenden in der Arbeit I.
[14] Schneidet die Kurve \(\mathfrak{S}\) die FlächeC 1 nur in einem Punkte (was z. B. in dem Falle stattfindet, wenn die Kurve \(\mathfrak{S}\) die Ebenex=0 das zweite Mal im Innern des Einheitskreises durchstößt), so ist natürlich der Winkel ?1 dem Winkel ?2 ungleich.
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