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The transformation of Clebsch in the calculus of variations. (English) JFM 54.0532.03
Proceedings Congress Toronto 1, 589-603 (1928).
Verf. betrachtet das folgende Variationsproblem: Längs der stückweise stetig differenzierbaren Kurven \(y_i(x)\) \((i=1,\dots,n; x_1 \leqq x \leqq x_2)\), die zwei gegebene Punkte des \((x,y_1,\dots,y_n)\)-Raumes verbinden, soll das Integral \[ I=\int_{x_1}^{x_2} f(x,y_1,\dots,y_n,y_1',\dots,y_n')dx \] unter den Nebenbedingungen \[ \Phi_\alpha(x,y_1,\dots,y_n,y_1',\dots,y_n')=0 \;(\alpha=1,\dots,m;m<n) \] zum Minimum gemacht werden. Verf. will, analog wie er es früher für einfachere Aufgaben gemacht hat, die Transformation der zweiten Variation, wie sie zuerst von Clebsch gegeben wurde, aus dem Hilbertschen Unabhängigkeitsintegral gewinnen. Hierzu werden zunächst unter Annahme eines Mayerschen Feldes die Gefällefunktionen und Lagrangeschen Multiplikatoren durch die Forderung eingeführt, daß das mit ihnen gebildete Hilbertsche Integral vom Wege unabhängig ist. In üblicher Weise läß t sich dann hieraus die Differenz des ursprünglichen Integrals, genommen längs einer beliebigen Vergleichskurve und der wirklichen Extremalen, mit Hilfe der Weierstraßschen \(E\)-Funktion darstellen.
Sodann wird gezeigt: Bedeckt die \(n\)-parametrige \[ y_i=e_i(x,a_1,\dots,a_n) \;(i=1,\dots,n) \] den Bereich \(\mathfrak F\) eindeutig und lückenlos, d. h. sind diese Gleichungen nach \(a_i=a_i(x,y,\dots,y_n)\) eindeutig auflösbar, so ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \[ \begin{aligned} p_i&=e_i'(x,a_1(x,y_1,\dots,y_n), \dots,a_n(x,y_1,\dots,y_n)) \;(i=1,\dots,n)\\ l_\alpha&=l_\alpha(x,a_1(x,y_1,\dots,y_n),\dots,a_n(x,y_1,\dots,y_n))\end{aligned} \] Gefällefunktionen und Multiplikatoren sind: \[ (1)\quad \sum_j \left( \frac{\partial y_j}{\partial a_i} \frac{\partial F_{yi}'}{\partial a_k} - \frac{\partial y_i}{\partial a_k} \frac{\partial F_{yj}'}{\partial a_i} \right)=0,\;F=l_0f+l_1\Phi_1+\cdots+l_m \Phi_m. \] Daraus ergeben sich mehrere Konstruktionsverfahren für die Gefällefunktionen. Alsdann wird die zweite Variation untersucht. Die Bedingung \[ \begin{aligned} I''(0)&=\int_{x_1}^{x_2} \sum_{i,k}(P_{ik} \eta_i \eta_k +2 Q_{ik} \eta_i \eta_k' +R_{ik}\eta_i' \eta_k')dx \geqq 0,\\ P_{ik}&=F_{y_iy_k},\;Q_{ik}=F_{y_iy_k'}\;R_{ik}=F_{y_i' y_k'},\end{aligned} \] für jede zulässige Variation \(\eta_i(x)\) ist gleichbedeutend damit, daß \(I''(0)\) für \(\eta_i \equiv 0\) ein Minimum besitzt.
Auf diese neue Variationsaufgabe werden die vorangehenden Ergebnisse angewendet. Es werden die neuen Eulerschen Differentialgleichungen aufgestellt, die den Jacobischen des ursprünglichen Systems aequivalent sind; unter \(u_1,\dots,u_n\) werde ein System von linear unabhängigen Lösungen verstanden. Die Bedingung (1) für die neuen Gefällefunktionen \(\pi_i\) und Multiplikatoren \(\varrho_\alpha\) nimmt die Form an: \[ (2)\quad u_i \Omega_{u_k'}-u_k \Omega_{u_i'}=0 \;(i,k=1,\dots,n), \] wobei \(\Omega\) für die neue Aufgabe ebenso zu bilden ist, wie \(F\) für die ursprüngliche. Je zwei Lösungen, welche die Bedingung (2) erfüllen, heißen konjugiert.
Ist nun diese Bedingung erfüllt, so kann die Weierstraßsche Integraltransformation auf die neue Aufgabe angewendet werden; das liefert für die zweite Variation den Ausdruck \[ I''(0)=\int_{x_1}^{x_2} \sum_{ik} R_{ik}(\eta_i'-\pi i)(\eta_k'-\pi_k)dx, \] der mit dem von Clebsch gegebenen äquivalent ist.
Endlich wird noch ein zweiter Beweis gegeben, der das Mayersche Feld nicht benutzt.

Subjects:
Vierter Abschnitt. Analyis. Kapitel 15. Variationsrechnung.