Isotopie von Kurven auf orientierbaren, geschlossenen Flächen und ihr Zusamenhang mit der topologischen Deformation der Flächen. (German) JFM 54.0602.05

Baer, Reinhold

J. Reine Angew. Math. 159, 101-116 (1928).

In einer früheren Arbeit [J. Reine Angew. Math. 156, 231–246 (1927; JFM 53.0547.01)] hat Verf. Invarianten der Typen homotoper, d. h. eindeutig und stetig ineinander deformierbarer Kurven auf geschlossenen, orientierbaren Flächen vom Geschlecht \(p\geq 2\) aufgestellt. In der vorliegenden Arbeit behandelt Verf. dieselbe Frage für Klassen doppelpunktfreier isotoper, d. h. eineindeutig und stetig ineinander deformierbarer Kurven. Verf. zeigt auf Grund einiger Hilfssätze, die von der Einbettung von Kurven in Ringbereicbe und “gekerbte” Bereiche (d. h. Elementarflächenstücke mit einer Selbstberührung des Randes) handeln, und unter wesentlicher Benutzung des Tietzeschen Lemmas (auf das Tietze den Beweis des Deformationssatzes gegründet hat), daßzwei einfache Kurven dann und nur dann isotop sind, wenn sie homotop sind. Durch vollständige Induktion nach der Anzahl der Kurven wird ein entsprechender Satz auch für Systeme einfacher Kurven bewiesen.
Verf. untersucht weiter den Zusammenhang zwischen der Isotopie der Kurven und den Deformationen der Abbildungen der Fläche auf sich: Zwei einfache Kurven sind immer und nur dann isotop, wenn es eine eineindeutige Deformation der identischen Abbildung der Fläche gibt, die die eine Kurve in die andere überführt. Durch Anwendung dieses Satzes auf ein kanonisches Schnittsystem ergibt sich ein Analogon des Tietzeschen Deformationssatzes: Eine topologische Abbildung einer Fläche auf sich geht dann und nur dann durch eineindeutige Deformation aus der identischen Abbildung hervor, wenn sie die Familie der inneren Automorphismen der Fundamentalgruppe der Fläche induziert, so daßalle Kurven eines kanonischen Schnittsystems in isotope, gleichgerichtete Kurven übergehen. Die Gruppe der eineindeutigen Deformationen ist eine invariante Untergruppe der Gruppe der topologischen Abbildungen der Fläche auf sich. (Vgl. hierzu auch J. Nielsen [Mat. Tidsskrift B 1927, 65–75 (1927; JFM 53.0543.01)].)

Reviewer: Pannwitz, Erika, Dr. (Berlin)

MSC:

57-XX

Manifolds and cell complexes

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 2. Topologie.

Citations:

JFM 53.0547.01; JFM 53.0545.01; JFM 53.0543.01