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Concerning triods in the plane and the junction points of plane continua. (English) JFM 54.0630.03

Ein dreiteiliges Kontinuum (triod) in der Ebene ist die Summe dreier Kontinua, die bis auf einen gemeinsamen Punkt \(o\) paarweise zueinander fremd sind, und von denen jedes zwischen \(o\) und einem weiteren Punkt der Ebene irreduzibel ist. Die Zerlegung eines dreiteiligen Kontinuums in seine drei Bestandteile (rays) ist eindeutig; insbesondere ist das Zentrum \(o\) (emanation point) eindeutig bestimmt.
Jede nicht abzählbare Menge dreiteiliger Kontinua in der Ebene besitzt eine nicht abzählbare Teilmenge von der Eigenschaft, daßje zwei dreiteilige Kontinua dieser Teilmenge wenigstens einen Punkt gemeinsam haben. Da die einzigen beschränkten Kurven, die kein dreiteiliges Kontinuum enthalten, die einfach geschlossenen Kurven und einfachen Bögen sind, mußjede nicht abzählbare Menge von beschränkten, paarweise fremden Kurven in der Ebene bis auf abzählbar viele Ausnahmen nur aus Kurven dieser Art bestehen. Läßt man die Forderung der Beschränktheit fallen, so können noch ein- oder beiderseitig offene Kurven dazu kommen. Dagegen gibt es eine nicht abzählbare Menge paarweise fremder, beschränkter Kontinua, von denen keines einen Bogen enthält.
Ein Punkt \(P\) heißt ein Verbindungspunkt (junction point) des Kontinuums \(M\), wenn \(P\) Zentrum eines dreiteiligen Teilkontinuums von \(M\) ist, und wenn es ein \(P\) enthaltendes Gebiet \(D\) gibt derart, daßdie \(P\) enthaltende maximale zusammenhängende Teilmenge von \(MD\) durch \(P\) zerlegt wird. Ein Kontinuum hat höchstens abzählbar viele Verbindungspunkte. Der hierin enthaltene schwächere Satz über die Abzählbarkeit der Zerschneidungspunkte von höherer als zweiter Ordnung im Mengerschen Sinne wird beim Beweis vorausgesetzt.

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