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Über die charakteristischen Zahlen einer Kurve vom Maximal-Klassenindex. (German) JFM 54.0683.08
Betrachtet werden nur reelle, stetige, geschlossene, ebene Kurven mit stetig sich ändernder Tangente und endlich vielen konvexen Bögen. Klasse und Klassenindex ist die größte, bzw. kleinste Anzahl der reellen Tangenten aus einem beliebigen Punkt der Ebene an die Kurve. In Fortsetzung seiner Abhandlungen über Kurven vom Maximalklassenindex und Maximalindex (1923; F. d. M. 49, 455) beweist Verf. hier die Formeln, die den Zusammenhang zwischen der Klasse \((n)\), der Anzahl der Spitzen \((r)\), der der Doppeltangenten \((t)\), der der Wendetangenten \((w)\) und dem Geschlecht \(p\) (hinsichtlich der Realität) der Kurven vom Maximalklassenindex herstellen: \[ r=n-2+2p,\;t+w=\frac{(n-1)(n-2)}{2}-p, \] woraus dann weiter Beziehungen zwischen algebraischem und Realitätsgeschlecht abgeleitet werden können.
Der Beweis wird mit Hilfe elementarer Deformationen geführt, durch die es gelingt, jede im Endlichen liegende, einzügige Kurve \(n\)-ter Klasse von Maximalklassenindex und vom Geschlecht 1 zu verwandeln in eine Kurve gleicher Klasse, die aus \(n-2\) Zügen dritter Klasse besteht. Bei Kurven mit einem von 1 verschiedenen Geschlecht, mehrzügigen Kurven und solchen, die sich ins Unendliche erstrecken, läß t sich durch Anwendung elementarer Deformationen und durch vollständige Induktion der Beweisgang auf den ersten Fall zurückführen. Im § 3, der die Anwendungsmöglichkeiten der verschiedenen benutzten Elementardeformationen behandelt, sind nicht alle möglichen Fälle berüchsichtigt; doch dürfte es keine Schwierigkeiten machen, diese Lücke auszufüllen. (V 6 A.)

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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Diese Abhandlung wurde am 17. Mai 1926 der ungarischen Akademie der Wissenschaften vorgelegt.
[2] ??ber Kurven vom Maximal-Klassenindex. ?ber Kurven vom Maximalindex?, Math. Annalen89 (1923), S. 32-75 [Berichtigung Math. Annalen90 (1923), S. 142 bis 143]. Diese Abhandlung wird im folgenden mit.A. zitiert.
[3] ?Die gewundenen Kurven vom Maximalindex auf einer Regelfl?che zweiter Ordnung,? Kgl. Danske Vidensk. Selks. Skrifter, Nat. og Math. Afd., 8. Raekke (1917), S. 279-294.
[4] Vgl. A.,?Die gewundenen Kurven vom Maximalindex auf einer Regelfl?che zweiter Ordnung,? Kgl. Danske Vidensk. Selks. Skrifter, Nat. og Math. Afd., 8. Raekke (1917), S. 50.
[5] Vgl. A.,?Die gewundenen Kurven vom Maximalindex auf einer Regelfl?che zweiter Ordnung,? Kgl. Danske Vidensk. Selks. Skrifter, Nat. og Math. Afd., 8. Raekke (1917), S. 60.
[6] ?Einige allgemeine S?tze ?ber die einfachsten Gestalten ebener Kurven?, Math. Annalen41 (1893), ?? 17-19, S. 369-376.
[7] ??ber einen v. Staudtschen Satz?, Acta. Litt. ac. Sc. Reg. Univ. Francisco-Josephinae, Szeged (Ungarn), Sect. Sc. Math.2 (1924), S. 67-68.
[8] Vgl. A.,??ber einen v. Staudtschen Satz?, Acta. Litt. ac. Sc. Reg. Univ. Francisco-Josephinae, Szeged (Ungarn), Sect. Sc. Math.2 (1924), S. 36-41.
[9] Vgl. A., ??ber einen v. Staudtschen Satz?, Acta. Litt. ac. Sc. Reg. Univ. Francisco-Josephinae, Szeged (Ungarn), Sect. Sc. Math.2 (1924), S. 63.
[10] Vgl. A., ??ber einen v. Staudtschen Satz?, Acta. Litt. ac. Sc. Reg. Univ. Francisco-Josephinae, Szeged (Ungarn), Sect. Sc. Math.2 (1924), S. 48.
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