×

Über Flächen von Maximalindex. (German) JFM 54.0696.02

Von den hier betrachteten Flächen wird vorausgesetzt; daß sie abgeschlossen sind, sich stetig ändernde Tangentialebenen haben, keine Ebenenstücke enthalten, sowie daß ihre ebenen Schnittkurven und Tangentenkegel entsprechenden einschränkenden Bedingungen genügen. Ordnung und Index der Fläche ist dabei die größte, bzw. geringste Anzahl reeller Punkte, in denen die Fläche von einer beliebigen, nicht ganz zur Fläche gehörenden Geraden geschnitten wird.
In einem ersten Teil werden allgemeine Eigenschaften der Flächen vom Maximalindex abgeleitet: daß der Index gleich \(n-2\) ist, wenn \(n\) die Ordnung der Fläche ist, daß sie keine Doppeltangenten haben, daß alle Kuspidalpunkte auf einer Geraden liegen, alle Doppellinien Gerade sind u. a. Weitere Sätze befassen sich mit den (im projektiven Sinne) zusammenhängenden, abgeschlossenen Teilen der Fläche (den Schalen), deren Anzahl, Art und Indices und mit den Doppelgeraden. Die Sätze und zugehörigen Beweise schließen sich eng an an die von Verf. aufgestellten Sätze über Kurven vom Maximalklassenindex (1923, 1927, 1928; F. d. M. 49, 455 (JFM 49.0455.*); 53, 550; 54, 683-684).
Der zweite Teil behandelt die Darstellung spezieller Fälle; Flächen, deren Schalen Kegel sind, die dann eine gemeinsame Spitze haben müssen; die Fläche 6. Ordnung aus vier Schalen, die sich in den Kanten eines Tetraeders schneiden (gegeben in homogenen Tetraederkoordinaten); eine Fläche 4. Ordnung, die aus zwei Regelflächen besteht. Die Existenz algebraischer und nicht algebraischer Flächen \(n\)-ter Ordnung vom Maximalindex, die aus \(p\) von Regeln verschiedenen Schalen von gegebenen Indices bestehen, wobei \(p\) nur der Ungleichung \(0 < p \leqq n-2\) genügen, und die Summe der Indices gleich \(n-2\) sein muß wird abgeleitet aus der Existenz ebener aus \(p\) Zügen bestehender Kurven vom Maximalindex, die entsprechenden Bedingungen genügen; deren Existenz wird durch Angabe ihrer Gleichung bewiesen.
Im letzten Teil werden Kriterien für die Irreduzibilität der Flächen vom Maximalindex (hinsichtlich der Realität) gegeben; insonderheit, daß die Summe der Indices der Schalen gleich dem Index der Fläche sein muß .

Citations:

JFM 49.0455.*
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Math. Annalen89 (1923), S. 32-75. Berichtigung dazu: Math. Annalen90 (1923), S. 152-153. Diese Arbeit bzw. die Berichtigung wird im folgenden mit A. bzw. B zitiert.
[2] C. Juel, Kgl. Danske Vidensk. Skrifter, (7)1, Nr. 6; B. P. Haalmeyer, Bijdragen tot de theorie der elementairoppervlakken, Amsterdam 1917; H. Kneser, Math. Annalen82 (1921), S. 287-296.
[3] Satz XII von A, S. 56-57.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.