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Contact des courbes gauches. Théorème de Meusnier et généralisations. Equation intrinsèque d’une surface. (French) JFM 54.0727.01

Berühren sich zwei Kurven \(C,C_1\) in einem Punkte \(M\), und trägt man auf ihnen die beiden Bogen \(MP = MP_1\) ab, dann wird in der Grenze die Gerade \(PP_1\) einer Richtung der Tangentialebene einer jeden Fläche \(\Sigma\), die \(C\) und \(C_1\) enthält, zustreben. Da diese Tangentialebene nur von Gliedern zweiter Ordnung abhängt, kann man \(C\) und \(C_1\) durch ihre Krümmungskreise und \(\Sigma\) durch die Kugel, die diese Krümmungskreise enthält, ersetzen. Das ist aber nichts anderes als der Satz von Meusnier. Diese Betrachtung läßt sich naturgemäßauf Kurven, die sich in höherer Ordnung berühren, ausdehnen, woraus sich eine Verallgemeinerung des Meusnierschen Satzes ergibt. Zu “natürlichen Gleichungen” einer Fläche kommt der Verf. auf folgendem Wege: Durch die Normalkrümmung \(n\), die geodätische Windung \(t\) und die Laguerresche Invariante \[ l=\theta n-2gt \] (in der Bezeichnung Knoblauchs) lassen sich \(u, v\) und \(du : dv\) ausdrücken (wofern die Fläche keine Dreh- oder Schraubenfläche ist). Setzt man dann in \(\theta t\) und \(\theta l\) für \(u, v, du : dv\) die Ausdrücke ein, so erhält man zwei Gleichungen \[ F_i(n,t,l,\theta t,\theta l,g)=0 \;(i=1,2), \] die nur Invarianten von Flächenkurven enthalten.
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