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Equation intrinsèque d’une surface. (French) JFM 54.0728.04

In einer früheren Note (1927; F. d. M. 53, 661 (JFM 53.0661.*)) hat Verf. die Tatsache abgeleitet, daßalle Kurven einer gegebenen Fläche \(F\) durch eine Gleichung zwischen der Krümmung, Windung und deren Ableitungen bis zur vierten bzw. dritten Ordnung nach der Bogenlänge bestimmt sind. Diese Gleichung bezeichnet er als “natürliche Gleichung” der Fläche. Versucht man von dieser natürlichen Gleichung aus zur endlichen Gleichung der Fläche \(F\) aufzusteigen, so zeigt sich folgendes: Die Lösungen der natürlichen Gleichung zerfallen in zwei Klassen: solche, die auf \(F\) selbst liegen, und solche, die in jedem ihrer Punkte eine Berührung sechster Ordnung mit einer zu \(F\) kongruenten Fläche \(F'\) haben. Diese letzteren sind die singulären Lösungen der “natürlichen Gleichung”. Gehört \(F\) einer Flächenfamilie an, die durch \(p\) Größenparameter in ihrer natürlichen Gleichung bestimmt ist, so erhält man die natürliche Gleichung der Flächenfamilie durch Elimination der Parameter aus der Gleichung und den durch \(p\)-malige Differentiation nach der Bogenlänge aus ihr hervorgehenden Gleichungen. Den Sachverhalt kann man sich am einfachsten an dem Beispiel der Kugeln geometrisch klar machen.

Citations:

JFM 53.0661.*
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Full Text: Gallica