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Topologische Fragen der Differentialgeometrie. I, II. (German) JFM 54.0744.04
Ein Kurvensystem auf einer Kreisscheibe heiß t eine “Schar”, wenn es das topologische Bild eines Parallelenbüschels, ein “Netz”, wenn es das topologische Bild zweier Parallelenbüschel ist, und ein “Gewebe”, wenn es aus drei Scharen besteht, Von denen je zwei ein Netz bilden. Die drei durch einen Punkt \(P\) gehenden Gewebekurven und ein von \(P\) verschiedener, auf einer dieser Kurven liegender Punkt 1 geben in naheliegender Weise Anlaß zur Konstruktion eines Zuges von sechs Gewebekurvenbögen, der in 1 beginnt und in einem Punkt der Kurve \(P\) 1 endet; ein solcher Zug wird ein “Gewebesechseck” genannt, und es wird ein neuer Beweis des früher von Thomsen bewiesenen Satzes gegeben: Die Geschlossenheit der Gewebesechsecke ist notwendig und hinreichend dafür, daß das Gewebe das topologische Bild von drei Parallelenbüscheln ist. – Ferner werden Systeme von vier Kurvenscharen betrachtet, von denen je zwei ein Netz bilden; haben zwei dieser Netze, \(N_1\), \(N_2\), die Eigenschaft, daß jedes Viereck aus \(N_1\) mit einer Diagonale aus \(N_2\) noch eine zweite Diagonale aus \(N_2\) besitzt, so heiß t \(N_2\) diagonal zu \(N_1\). Es wird gezeigt: Wenn \(N_2\) zu \(N_1\) diagonal ist, so lassen sich \(N_1\) und \(N_2\) gleichzeitig durch eine topologische Abbildung in geradlinige Parallelogrammnetze überführen.
In der zweiten Mitteilung werden Flächensysteme in einer Kugel betrachtet: Das topologische Bild von drei Scharen paralleler Ebenen heiß t ein “Flächennetz”, vier Flächenscharen, von denen je drei ein Netz bilden, heißen ein “Flächengewebe”. Es wird bewiesen: Ein Flächengewebe ist dann und nur dann das topologische Bild von vier Scharen paralleler Ebenen, wenn sich die Schnittlinien der Gewebeflächen auf Kurvennetze in den drei Flächenscharen eines Flächennetzes verteilen. (V 2.)

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