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Der absolute Differentialkalkül und seine Anwendungen in Geometrie und Physik. (German) JFM 54.0754.12
Berlin: J. Springer (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendungsgebiete Bd. 28). XI, 310 S. mit 6 Abb. (1928).
Über die Abweichungen der vorliegenden deutschen Ausgabe von der italienischen Originalausgabe (Lezioni di calcolo differenziale assoluto, 1925; F. d. M. 51) und der englischen Übersetzung (1927; F. d. M. 53, 682 (JFM 53.0682.*)) unterrichtet das von dem Verf. gemeinsam mit A. Duschek geschriebene Vorwort:
“Der Inhalt des vorliegenden Buches läß t sich in drei Abschnitte zerlegen. Der erste (Kap. 1 und 2) gibt die algebraischen Grundlagen und eine Einführung in die Theorie der quadratischen Differentialformen in rein geometrischer Darstellung. Im Mittelpunkt des zweiten Kapitels steht der Begriff der Parallelverschiebung eines Vektors längs einer gegebenen Kurve, der die Grundlage aller folgenden Untersuchungen bildet. Gerade in dem Voranstellen dieses Begriffes dürfte wohl der wesentlichste Unterschied gegenüber anderen Darstellungen liegen. In der italienischen Ausgabe sind diesen zwei Kapiteln noch drei über Funktionaldeterminanten und -matrizen, über totale Differentialgleichungen sowie über lineare partielle Differentialgleichungen und vollständige Systeme vorangestellt. Diese drei Kapitel wurden hier aus verschiedenen Gründen weggelassen. Zum Verständnis des folgenden sind sie kaum erforderlich, doch bedingte diese Streichung eine Reihe von Änderungen besonders im ersten Kapitel, das so vom Übersetzer wenigstens zum Teil vollständig umgearbeitet und ergänzt werden mußte.”
“Der zweite Abschnitt (Kap. 3 bis 7) behandelt den eigentlichen absoluten Differentialkalkül und seine geometrischen Anwendungen und ist eine im wesentlichen ungeänderte Übersetzung der entsprechenden Kapitel der italienischen Ausgabe.”
“Der dritte Abschnitt (Kap. 8 und 9) endlich ist ebenfalls ohne wesentliche Änderung unter Benützung der englischen Ausgabe nach dem italienischen Manuskript übersetzt. Er behandelt die relativistische Entwicklung der Mechanik und der geometrischen Optik unter Ausschluß von Elektrizität und Magnetismus. Dabei folgt der Verf. der Methode, von den klassischen Gesetzen auszugehen und zu untersuchen, welche Änderungen sich an diesen Gesetzen vornehmen lassen, wenn man folgende zwei Bedingungen stellt: Erstens sollen diese Änderungen so geringfügig sein, daß sie unter gewöhnlichen Verhältnissen überhaupt vernachlässigt werden können, und zweitens sollen die so geänderten Gesetze invariant sein gegenüber allen Transformationen der vierdimensionalen Raum-Zeit-Welt, die eine bestimmte quadratische Differentialform ungeändert lassen. Diese vom Verfasser in Vorlesungen und Publikationen vielfach durchgeführte Methode dürfte in mancher Hinsicht dem Vorgang vorzuziehen sein, die Postulate der relativistischen Mechanik in abstrakter Tensorform aufzustellen, was zwar sehr allgemein und umfassend, dafür aber um so weniger anschaulich ist.”
“In noch einer, allerdings mehr formalen Hinsicht unterscheidet sich die vorliegende Ausgabe vom Original, nämlich durch die einheitlich durchgeführte Anwendung der Schreib- und Bezeichnungsweise des modernen Tensorkalküls. Gelegentlich ist auch die elementare Vektorrechnung des euklidischen Raumes verwendet worden.”
“Zur bequemeren Benützung wurden in einem Anhang noch die wichtigsten Formeln aus den ersten vier Kapiteln zusammengestellt.”
Inhaltsverzeichnis: Kap. I. Algebraische Grundlagen. Kap. II. Die Geometrie der quadratischen Differentialformen. 1. Das Bogenelement einer Fläche. 2. Parallelismus auf der Fläche. 3. Verallgemeinerung des Vorstehenden für \(n\)dimensionale Mannigfaltigkeiten mit beliebiger Metrik. Kap. III. Kovariante Ableitungen. Invarianten und Differentialparameter. Örtlich geodätische Koordinaten. Kap. IV. Der Riemannsche Krümmungstensor und die Krümmung einer \(M_n\). Kap. V. Zwei verschiedene Maßtensoren auf einer \(V_n\). Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung. Kap. VI. Quadratische Differentialformen von der Klasse Null und Eins. Kap. VII. Kurvenkongruenzen auf einer \(M_n\). Kap. VIII. Die Entwicklung der Mechanik und der geometrischen Optik und ihre Beziehung zu Einsteins vierdimensionaler Welt. Kap. IX. Die Gravitationsgleichungen und die allgemeine Relativitätstheorie. Anhang: Formelsammlung. Namen- und Sachverzeichnis.
Besprechung: L. Berwald; Jahresbericht D. M. V. 38 (1929), 110-111 kursiv.

Subjects:
Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.