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Über die Geometrie von Laguerre. IX: Begleitende Dupinsche Zykliden bei Streifen. \(W\)-Kugelscharen und \(W\)-Streifen. (German) JFM 54.0790.05
Im Anschluß an die Untersuchung der Streifen in der Geometrie von Laguerre werden die Dupinschen Zykliden ermittelt, die die Streifen begleiten. Im allgemeinen gibt es eine begleitende Zyklide \(Z_1\) vom elliptischen oder hyperbolischen Typ, auf welcher vier konsekutive Elemente des Streifens (Kugel und berührende Ebene) liegen. \(Z_1\) kann auf zwei Arten als eingehüllt von einer Schar von \(\infty^1\) gerichteten Kugeln, die drei vorgegebene Kugeln berühren, aufgefaß t werden. \(Z_1\) wird daher bestimmt, indem man in vier konsekutiven Elementen des Streifens je zwei Kugeln \(\mathfrak y\) und \(\mathfrak z\) aus dem Büschel \({\mathfrak x}+\lambda {\mathfrak v}\) so auswählt, daß sie die einhüllenden Kugeln der \(Z_1\) werden. Man erhält: \[ {\mathfrak y}={\mathfrak x}+\alpha {\mathfrak v},\;{\mathfrak y}'={\mathfrak x}'+\alpha' {\mathfrak v}+\alpha {\mathfrak v}',\dots, \] \[ {\mathfrak z}={\mathfrak x}+\beta {\mathfrak v},\;{\mathfrak z}'={\mathfrak x}'+\beta' {\mathfrak v}+\beta {\mathfrak v}',\dots. \] Die Werte \(\alpha,\alpha',\alpha'';\beta,\beta',\beta''\) werden als Funktionen der Invarianten \(R, S, T; R'\) des Streifens angegeben; sie bestimmen die Lage der Zyklide. Die Größ e der Zyklide ist durch den Mittelpunkt \(m\) und den Radius \(r\) festgelegt die ebenfalls als Funktionen der Invarianten ausgedrückt werden.
Verschwinden einige Invarianten so artet die Zyklide aus Dabei sind folgende Möglichkeiten vorhanden: Parabolische Zyklide, \(\infty^1\) Zykliden Drehkegel oder keine begleitende Zyklide.
Ist ein allgemeiner Streifen durch \(R(s), S(s), T(s)\) gegeben, so gibt es nur eine \(Z_1\), nämlich die begleitende, auf der dieser Streifen liegt. Die Größen \(\alpha,\alpha',\alpha''\) bedeuten dann geometrisch den Steigwinkel des Streifens und seine erste und zweite Ableitung nach \(s\).
Hat man eine \(W\)-Kugelschar, d. h. eine Schar, die eine eingliedrige Gruppe von Laguerre-Transformationen zuläßt, so ist mit ihr ein \(W\)-Streifen verbunden, und umgekehrt bestimmt jeder \(W\)-Streifen eine \(W\)-Kugelschar.
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