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Sur les systèmes de Pfaff. (French) JFM 54.0803.03
Die Theorie der Pfaffschen Differentialgleichungen und -systeme ist in neuerer Zeit hauptsächlich von E. Cartan weitgehend ausgebildet worden, Dabei zeigt es sich wieder, wie vorteilhaft die Verwendung von Methoden und Begriffen der mehrdimensionalen Geometrie für die Darstellung der zu untersuchenden Integralmannigfaltigkeiten ist, Die Arbeit des Verf, ist ein weiterer Schritt in dieser Richtung, für welchen die systematische Verwendung der Symbolik und Begriffsbildungen des neueren Riccikalküls, vor allem in der von Schouten gegebenen Form, charakteristisch ist. Eine Verknüpfung des Riccikalküls mit der Integrationstheorie partieller Differentialsysteme hat bereits Schouten gegeben. Faß t man z. B. die Koeffizienten eines homogenen linearen partiellen Differentialsystems von \(p\) Gleichungen erster Ordnung als kontravariantes \(p\)-Vektorfeld auf, so entstehen die \(p\)-dimensionalen Charakteristiken \(A_p\) des Systems wenn dasselbe ein “vollständiges” System ist –, indem sich die infinitesimalen Richtungsfelder \(E_p\) des Vektorfeldes “\(X_p\)-bildend” aneinanderreihen. So entsteht die Gleichwertigkeit der Aussagen, ein (kontravariantes) Vektorfeld sei \(X_p\)-bildend und ein Differentialsystem sei vollständig. Den Zusammenhang mit dem Pfaffschen Problem ergibt nunmehr die allgemeinere Frage: Wann ist ein (kontravariantes) \(p\)-Vektorfeld \(X_q\)-bildend für \(q<p\) ? Auch diese Untersuchung wurde für \(p=n-1\) (wo \(n\) die Zahl der unabhängigen Variabeln ist) von Schauten durchgeführt, wodurch die klassische Theorie der einzelnen Pfaffschen Gleichung (Äquivalenz- und Reduktionstheorie) vom Riccikalkül erfaß t wird. Den allgemeinen Fall behandelt der Verf. Durch Angabe der Kriterien, wann ein \(p\)-Vektorfeld \(X_q\)-bildend ist, wird für verschiedene Werte von \(p\) die Frage nach den Dimensionsgrenzen der Integralmannigfaltigkeiten (nicht vollständiger) Pfaffscher Systeme beantwortet. (IV 12, V 6 C.)

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Full Text: DOI Numdam EuDML