×

Mechanik der plastischen Formänderung von Kristallen. (German) JFM 54.0877.01

Versuche über die plastische Verformung von Kristallen, die von mehreren Seiten durchgeführt worden sind, regten Verf. an, seine Theorie des Fließens isotroper Körper (1913; F. d. M. 44, 918 (JFM 44.0918.*)-919) auf den allgemeinen Fall anisotroper Körper zu erweitern. Die Fließbedingung besteht gemäß dem Verhalten fester Körper darin, daß eine bestimmte Funktion der sechs Spannungskomponenten während des Fließens konstant bleibt, wobei diese Funktion den beiden Invarianzbedingungen genügen muß einmal ungeändert zu bleiben, wenn man den Spannungstensor durch Hinzufügen eines allseitig gleichen Druckes verändert, und andererseits, wenn man von einem Koordinatensystem zu einem kristallographisch gleichberechtigten übergeht.
Wird die Fließfunktion entsprechend der von Verf. für isotrope Körper aufgestellten Fließbedingung als quadratische Form in den Spannungskomponenten angesetzt, so treten darin, da wegen der ersten Invarianzbedingung nur die Differenzen der Normalspannungen eingehen können, und die Zahl der unabhängigen Veränderlichen also 5 beträgt, 15 Koeffizienten auf. Indessen sind diese 15 Konstanten bzw. ihre 14 Verhältnisse nur bei triklinen Kristallen voneinander unabhängig, da nur für diese das Koordinatensystem eindeutig festgelegt ist. Für die anderen Kristallformen nimmt wegen der zweiten Invarianzbedingung die Anzahl der unabhängigen Koeffizienten mit wachsender Symmetrie des Kristalls ab. Beim isotropen Körper, wo die Form invariant gegenüber allen orthogonalen Transformationen sein muß kommt man auf die früher von Verf. aufgestellte Fließfunktion zurück, die von jeder Materialkonstanten frei ist, während beim regulären System eine und beim hexagonalen System zwei Materialkonstanten in den Koeffizienten auftreten. man sich nicht auf diesen Ansatz der Fließfunktion festlegen, so hat man, um die allgemeinste mögliche Form der Fließfunktion zu erhalten, aus den Spannungskomponenten die einfachsten voneinander unabhängigen Ausdrücke zu bilden, die Invarianz gegenüber den beiden Forderungen zeigen, und die Fließfunktion als eine willkürliche Funktion dieser unabhängigen Invarianten anzusetzen. Beim isotropen Körper geht man dazu einfach aus von den drei unabhängigen Invarianten des Spannungstensors gegenüber orthogonalen Transformationen (außer der Determinante selbst die Summen ihrer Hauptminoren erster und zweiter Ordnung) und bildet daraus zwei unabhängige Invarianten, in denen nur die Differenzen der Normalspannungen auftreten. Bei kristallinischen Körpern hat man entsprechend 6 unabhängige Invarianten der Spannungskomponenten gegenüber Koordinatenänderung, und daraus lassen sich 5 Invarianten bilden, in die nur die Differenzen der Normalspannungen eingehen, so daß die Fließfunktion als willkürliche Funktion dieser 5 Invarianten angesetzt werden kann. In dieser allgemeinen Fließfunktion ist dann, wie Verf. ausführt, auch die Guest-Mohrsche Schubspannungsbedingung bzw. ihre Verallgemeinerung auf kristallinische Körper enthalten.
Hinsichtlich der Fließbedingung des Verf. für isotrope Körper findet sich gelegentlich in der Literatur ein Mißverständnis. Die auf die Raumeinheit bezogene Formänderungsarbeit eines elastischen Körpers, ausgedrückt in den Spannungskomponenten, erscheint als eine Summe zweier Glieder, deren erstes die Dichteänderung und deren zweites die Gestaltänderung kennzeichnet. Der analytische Ausdruck der Fließfunktion stimmt nun gerade mit der quadratischen Form der Gestaltänderungsenergie überein, so daß die Fließbedingung des Verf. mit der Ansicht verwechselt worden ist, es sei die Größ e der Gestaltänderungsenergie für die Bruchgefahr maßgebend. Spaltet man aber bei kristallinischen Körpern die Formänderungsarbeit entsprechend auf, so erweisen sich die Koeffizienten der quadratischen Form der Gestaltänderungsenergie als von denen der Fließfunktion verschieden.
Da die Versuche über die plastische Formänderung der Kristalle in der Regel so angestellt werden, daß ein einachsiger Spannungszustand vorliegt (zwei der Hauptspannungen Null), so spezialisiert Verf. die Fließfunktion auf diesen Fall. Die Ergebnisse der Versuche lassen bisher keine Entscheidung für eine bestimmte der Fließfunktionen zu.
Die Mineralogen beschreiben die plastische Verformung der Kristalle als Gleiten der Schichten gegen einander. Eins solcher Vorgang ist wegen der Volumenbeständigkeit notwendig eine ebene Deformation. Indessen sind die Formänderungen bei Kristallen, wie auch die Versuche zeigen, nicht notwendig ausschließlich ebene Deformationen. Verf. führt, insbesondere für den Aluminiumkristall, aus, daß sich jede Deformation als Überlagerung von fünf ebenen Deformationen darstellen läßt, von denen in der Regel eine besonders ausgeprägt ist.
Mit Hilfe der Fließfunktion läß t sich nun – und darin sieht Verf. eins der Hauptergebnisse seiner Untersuchung – die Verknüpfung der Spannungskomponenten mit den Komponenten der Deformationsgeschwindigkeit während des Fließens gewinnen. Sind nämlich diese Beziehungen linear, so müssen sich die Komponenten der Deformationsgeschwindigkeit als partielle Ableitungen einer quadratischen Form der Spannungen ergeben, die durch die gleichen Eigenschaften wie die quadratische Fließfunktion gekennzeichnet ist. Die Versuche an regulären Kristallen zeigen nun, daß auch die Koeffizienten der beiden quadratischen Formen übereinstimmende Zahlwerte besitzen. Da es andererseits auch für isotrope Körper plausibel erscheint, die Deformationsgeschwindigkeiten als Ableitungen der Fließfunktion des Verf. nach den Spannungen aufzufassen, so liegt die Annahme nahe, daß allgemein die Komponenten der Deformationsgeschwindigkeit die partiellen Ableitungen der Fließfunktion nach den Spannungskomponenten sind, zumal sich diese Ableitungen wie die Komponenten eines Tensors (zweiter Stufe) transformieren. Dabei ist prinzipiell jede Fließfunktion zulässig. Verf. untersucht insbesondere, was hiernach aus der Schubspannungshypothese folgt.
Dieser durch die Fließfunktion vermittelte Zusammenhang zwischen Deformationsgeschwindigkeit und Spannung läß t sich im Verein mit der Konstanz der Fließfunktion während des Fließens dahin fassen, daß beim Fließvorgang die Änderung \(\delta F\) der Fließfunktion, die durch eine zulässige Variation der Spannungen erzeugt wird, verschwindet, daß also die Fließfunktion gegenüber den Variationen der Spannungskomponenten stationär bleibt.
Zum Schluß wird das System der vollständigen Bewegungsgleichungen des Fließvorgangs aufgestellt, bei denen 10 Unbekannte aus 10 Gleichungen zu bestimmen sind, und der Weg zu ihrer Integration angedeutet.

Citations:

JFM 44.0918.*
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI