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On a problem of formal logic. (English) JFM 55.0032.04
In dieser Arbeit behandelt Ramsey zwei Aufgaben über die Erfüllbarkeit von Aussagen. Die erste Aufgabe betrifft Aussagen, die mittels der Quantifikation “alle” aus Ausdrücken gebildet sind, welche wiederum mittels der drei elementaren logischen Operationen Konjunktion, Disjunktion und Negation, teils aus variablen Satzfunktionen und teils aus der Identitätsbeziehung aufgebaut sind. Wie der Verf. bemerkt, ist diese Aufgabe trivial für jeden einzelnen endlichen Bereich, weil man nur alle Möglichkeiten durchzuprobieren hat. Die Bedeutimg seiner Arbeit liegt deshalb darin, daß er auf einmal die Erfüllbarkeit in beliebig großen endlichen und auch unendlichen Bereichen untersucht. Es gelingt ihm im Abschnitt II, eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Erfüllbarkeit in jedem Bereiche zu finden, dessen Elementzahl größer ist als eine gewisse Zahl, die von der Zahl der gegebenen Satzfunktionen und ihrer Argumente abhängt. Für kleinere Bereiche ist die Bedingung hinreichend, aber nicht notwendig. Um dies Hauptergebnis seiner Arbeit beweisen zu können, braucht er gewisse kombinatorische Sätze, die er im Abschnitt I beweist; diese Sätze sind übrigens auch sonst unzweifelhaft von großer Bedeutung. Im Abschnitt III macht er eine Anwendung seines allgemeinen Ergebnisses auf den Fall, wo von der Identität abgesehen bloß eine Funktion von zwei Variablen auftritt.
Die zweite Aufgabe behandelt der Verf. im Abschnitt IV. Er betrachtet hier Aussagen, worin auch die Quantification “es gibt” vorkommt, aber so, daß alle Existenzzeichen im Aussagenausdruck vor den Allzeichen stehen. Er gibt eine kurze Darstellung davon, wie seine Methode noch anwendbar bleibt, indem er zeigt, wie die Frage der Erfüllbarkeit einer Aussage der letzteren Art in einem Bereiche auf die Frage der Erfüllbarkeit einer Aussage der ersteren Art in einem gewissen kleineren Bereiche zurückgeführt werden kann. (II.)

MSC:
03-XX Mathematical logic and foundations
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