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Einige Sätze über Primzahlen mit Anwendungen auf Irreduzibilitätsfragen. I, II. (German) JFM 55.0069.03

Verf. beweist das folgende allgemeine Irreduzibilitätskriterium: Im Körper der rationalen Zahlen ist jedes Polynom \[ 1+g_1\frac{x}{1!}+g_2\frac{x^2}{2!}+\cdots+g_{n-1}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \pm\frac{x^n}{n!} \] mit beliebigen ganzen rationalen Koeffizienten \(g_1, g_2,\ldots, g_{n-1}\) stets irreduzibel; im besonderen sind hiernach alle Abschnitte der Reihen für \(e^x\) und \(\cos x\) sowie die Laguerreschen Polynome \(\dfrac{e^x}{n!}\dfrac{d^n(x^ne^{-x})}{dx^n}\) irreduzible Funktionen. Der Beweis wird geführt mit Hilfe eines vom Verf. wiedergefundenen Sylvesterschen Satzes (Messenger (2) 21 (1892); 1-19, 87-120; Collected mathematical papers 4, 687-731; F. d. M. 23, 181 (JFM 23.0181.*)-182) über die Primteiler einer Sequenz ganzer Zahlen: Unter je \(k\) aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen \(h+1\), \(h+2,\ldots\), \(h+k\) gibt es für jedes \(k\geqq1\), falls \(h\geqq k\) ist, mindestens eine Zahl, die durch eine oberhalb \(k\) liegende Primzahl teilbar ist.
In der zweiten Arbeit werden die folgenden Irreduzibilitätskriterien gewonnen: Im Körper der rationalen Zahlen ist für \(n > 1\) jedes Polynom \[ 1+g_1\frac{x^2}{u_2}+g_2\frac{x^4}{u_4}+\cdots+g_{n-1} \frac{x^{2n-2}}{u_{2n-2}}\pm\frac{x^{2n}}{u_{2n}}, \] wobei \(u_{2\nu}=1\cdot 3\cdot 5\ldots (2\nu-1)\) ist und die \(g_\nu\) beliebige ganze rationale Zahlen bedeuten, stets irreduzibel. Weiter erweist sich bei gleicher Bedeutung der Koeffizienten auch das Polynom \[ 1+g_1\frac{x^2}{u_4}+g_2\frac{x^4}{u_6}+\cdots+g_{n-1} \frac{x^{2n-2}}{u_{2n}}\pm\frac{x^{2n}}{u_{2n+2}} \] im allgemeinen als irreduzibel. Eine Ausnahme kann nur stattfinden, wenn \(2n\) die Form \(3^r-1\) hat, wobei \(r\geqq 2\) ist; in dem Ausnahmefall kann das vorgelegte Polynom nur die Form \((x^2\pm 3) G_1(x)\) besitzen, wobei \(G_1(x)\) im Körper der rationalen Zahlen irreduzibel ist. Aus diesen beiden Sätzen folgt im besonderen die Irreduzibilität des Hermiteschen Polynoms \[ (-1)^m e^{\frac{x^2}2}\cdot\frac{d^m\left(e^{-\frac{x^2}2}\right)}{dx^m} \] für gerades \(m>2\) und für ungerades \(m\) nach Division durch den Faktor \(x\). Die angegebenen allgemeinen Irreduzibilitätssätze ergeben sich aus folgendem Theorem über die Teilbarkeit von Sequenzen ungerader Zahlen: Unter je \(k\) (\(k > 2\)) aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen \(2h+1, 2h+3,\ldots, 2h+2k-1\) existiert für \(h>k\) oberhalb \(2k+1\) mindestens eine Zahl, die durch eine oberhalb \(2k+1\) liegende Primzahl teilbar ist. Für \(k=2\) gibt es nur den Ausnahmefall des Paares 25, 27; für \(k=1\) sind in den Potenzen \(3^2, 3^3, 3^4,\ldots\) unendlich viele Ausnahmefälle vorhanden. Hieraus folgt noch eine Erweiterung des Sylvesterschen Satzes, nämlich: Unter je \(k\) aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen \(h+1, h+2,\ldots, h+k\) gibt es für jedes \(k>2\), falls \(h > k\) ist, oberhalb \(k+1\) mindestens eine Zahl, die durch eine oberhalb \(k+1\) liegende Primzahl teilbar ist. Nur das Paar 8, 9 bildet für \(k = 2\) eine Ausnahme; für \(k=1\) liefern die Potenzen \(2^2, 2^3, 2^4,\ldots\) unendlich viele Ausnahmefälle. Auch aus diesem Satz lassen sich im allgemeinen irreduzible Polynome von ähnlicher Gestalt wie die oben mitgeteilten gewinnen; zu diesen gehören insbesondere als Spezialfälle die Abschnitte der Potenzreihen für \(\dfrac{\sin x}{x}\) und \(\dfrac{e^x-1}x\), die ausnahmslos im Körper der rationalen Zahlen irreduzibel sind. (III 8.)

Citations:

JFM 23.0181.*
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