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Distributive Gruppen von endlicher Ordnung. (German) JFM 55.0082.06
Man kann zeigen, daß die Komposition \(a\cdot b\) der gewöhnlichen Gruppen, die hier assoziativ genannt werden, nie dem folgenden “Distributivgesetz” genügt:
\( (a \cdot b) \cdot c = (a \cdot c) \cdot (b \cdot c), c \cdot (a \cdot b) = (c \cdot a) \cdot (c \cdot b) \).
Unter einer distributiven Gruppe verstehen die Verf. ein System von Elementen, das folgende Axiome erfüllt: 1. Das System ist abgeschlossen gegenüber einer Kompositionsoperation \(a\cdot b\). 2. Existenz und Eindeutigkeit der inversen Operationen. 3. Die Komposition besitzt die Eigenschaft der Distributivität. Ein Beispiel für eine distributive Gruppe ist das System der reellen positiven Zahlen, wenn als Komposition zweier Zahlen \(a\) und \(b\) das geometrische Mittel \(\sqrt{ab}\) angenommen wird. Bekanntlich bildet ja dieses System keine assoziative Gruppe.
Die distributiven Gruppen unterscheiden sich von den assoziativen durch das Nichtvorhandensein eines Einheitselementes und die Eigenschaft der Homogenität, welche darin besteht, daß jedes Element der Gruppe durch einen geeignet gewählten Automorphismus der Gruppe jedem beliebigen anderen Element zugeordnet werden kann. Vermutlich bringt die Aufstellung aller distributiven Gruppen einer bestimmten Ordnung wie bei den assoziativen Gruppen große Schwierigkeiten mit sich. Allerdings macht sich auch bei dieser Frage ein großer Gegensatz zu dem assoziativen Fall bemerkbar. Es gibt nämlich nicht zu jeder Ordnung eine distributive Gruppe. Was die kommutativen distributiven Gruppen betrifft, läßt sich zeigen, daß sie stets von ungerader Ordnung sind, und daß umgekehrt jede ungerade Zahl als Ordnung einer kommutativen distributiven Gruppe auftreten kann.

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Full Text: DOI Crelle EuDML