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Über die Einheiten relativ-abelscher Zahlkörper. (German) JFM 55.0103.08
Betrachtet wird ein relativ Abelscher Körper \(K\) über einem Körper \(k\), der die \(l\)-ten Einheitswurzeln enthält (\(l\) ungerade Primzahl), mit einer Galoisschen Gruppe \(\{S, T\}\); \(S^l=T^l=E\). Untersucht wird, was bei einem solchen Relativkörper den Grundeinheiten im relativ zyklischen Körper vom Grade \(l\) entspricht. Die Annahme, daß der Grundkörper die \(l\)-ten Einheitswurzeln enthält, scheint keine wesentliche Einschränkung der Allgemeinheit zu sein (sicher gibt es in diesem Fall eine größere Mannigfaltigkeit von Typen als im andern). Hauptziel der Untersuchung ist, über den Index der aus den Einheiten der relativ zyklischen Unterkörper von \(K/k\) erzeugten Gruppe innerhalb der Gesamteinheitengruppe von \(K\) und dem entsprechenden Idealklassenzahlquotienten \(q = l^\varkappa\) Aussagen zu machen. Verf. geht dabei naturgemäß von dem verallgemeinerten Herglotzschen Resultat aus, daß sich die \(l\)-ten Potenzen von \(K\)-Einheiten im wesentlichen als symbolische Potenzprodukte der Unterkörpereinheiten darstellen, verläßt dann aber weiterhin die Symmetrie, indem er einen der Unterkörper auszeichnet. Verf. erhält schließlich eine Abschätzung von \(q\) nach oben; die Schranke hängt von idealtheoretischen Verhältnissen in den Unterkörpern ab. Ein Beispiel zeigt, daß auch \(q = 1\) (\(\varkappa = 0\)) sein kann. Auf den Fall \(\varkappa < 0\), der wenigstens bei Grundkörpern ohne \(l\)-te Einheitswurzeln gang und gäbe ist, geht Verf. nicht ein. – Die gewonnenen Resultate gestatten eine Anwendung auf die Klassenkörpertheorie: es wird ein Beispiel einer absoluten Klassengruppe vom Typus \((l, l)\) konstruiert, wo schon in einem Unterkörper des Klassenkörpers alle Grundkörperideale Hauptideale werden.
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