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Zum Waringschen Problem. Zweite Abhandlung. (German) JFM 55.0109.03

Verf. knüpft an an seine Abhandlung “Zum Waringschen Problem” (M. Z. 12 (1922), 219-247; F. d. M. 48, 142 (JFM 48.0142.*)). Er befreit den darin gegebenen Beweis einer Abschätzung, deren arithmetische Folge eine Verallgemeinerung des Hardy-Littlewoodschen Resultats, daß alle genügend großen ganzen Zahlen als Summe von nicht mehr als \[ (k- 2)2^{k-1}+5 \] \(k\)-ten Potenzen (\(k\geqq 2\) ganz) nicht-negativer ganzer Zahlen dargestellt werden können, auf die Darstellung ganzer Zahlen als Summen von Werten eines ganzzahligen Polynoms vom Grade \(k\) für nicht-negatives ganzes Argument ist, von der (im allgemeinen nicht zugänglichen) Abschätzung \[ r_2 (n) =O (n^{\varepsilon}) \qquad (\varepsilon > 0 \;\;\text{beliebig}), \tag{1} \] wobei \(r_2 (n)\) die Darstellungen der nicht-negativen ganzen Zahl \(n\) als Summe zweier Werte eines fest vorgegebenen ganzzahligen Polynoms für ganzes \(z\geqq 0\) \[ P(z)=\alpha _0z^k+\cdots +\alpha _k \qquad (\alpha _0>0)\tag{2} \] abzählt. Verf. leitet die l. c. aus (1) gefolgerte und beim Beweis weiter verwendete Abschätzung \[ \sum ^n_{\nu=0}(r_2(\nu))^2<Dn^{\tfrac{2}{k}+\varepsilon} \;\;(\varepsilon > 0 \;\;\text{beliebig})\tag{3} \] für ganzes \(n\geqq 1\) (mit einer nur von \(P\) und \(\varepsilon\) abhängigen positiven Konstanten \(D\)) ohne Benutzung von (1) direkt her. Für \(P (z) = z^k\) (Hardy und Littlewood) wird dadurch ein (zugänglicher) Satz über einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Zerlegungen einer positiven ganzen Zahl in zwei Quadrate und der Anzahl der positiven Teiler der darzustellenden Zahl entbehrlich.

Citations:

JFM 48.0142.*
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