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Über Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden. (German) JFM 55.0111.02
Verf. beschäftigt sich mit einem Spezialfall des folgenden Problems: Für ganzes \(r\geqq 5\) habe man eine positiv definite quadratische Form \[ Q(u) = \sum_{\mu, \nu=1}^r a_{\mu\nu} u_{\mu} u_\nu. \] Es sei für positives \(\xi\) \[ P_Q(\xi) = \sum_{(u_\varrho)} {}^* 1-J_Q(\xi), \] wobei in der \(\sum {}^* \)über alle Gitterpunkte des Bereichs \[ 0<Q(u)\leqq \xi \] zu summieren ist und \(J_Q (\xi)\) das Volumen des Ellipsoids \(Q(u) \leqq \xi\) bedeutet. Den Gegenstand der Untersuchung bildet die Abschätzung der reellen Zahl \(\mu = \mu (Q)\) mit \[ \begin{matrix} P_Q(\xi)=O(\xi^{\mu+\varepsilon })\\ P_Q(\xi)=\varOmega(\xi^{\mu-\varepsilon })\\ \end{matrix} \biggr\} (\varepsilon >0 \;\;\text{beliebig}). \] Für rationale \(a_{\mu\nu}\) haben Landau und Walfisz diese Frage vollständig beantwortet. Für irrationale \(a_{\mu\nu}\) hat der Verf. folgenden Spezialfall behandelt: \(s\geqq 2\) ganz, \(r_\nu \geqq 4\) ganz \((\nu=1, \ldots, s), \;r=r_1+\cdots +r_s\), \[ Q(u)= \sum_{\nu=1}^s\biggl\{ \beta_\nu \cdot \sum ^{r_\nu}_{\mu=1} u^2_{\mu\nu}\biggr\} \] mit beliebigen reellen positiven \(\beta_\nu\). Er zeigte, daß für alle Systeme \(\beta _1, \ldots, \beta_s\) mit Ausnahme einer Menge vom Lebesgueschen Maße Null \[ \mu=\dfrac{r}{2}-s \] ist. In der vorliegenden Arbeit beweist der Verf. für \(s = 2\) folgenden Zusammenhang zwischen \(\mu\) und den Eigenschaften der Kettenbruchentwicklung von \(\dfrac{\beta_1}{\beta_2}\) (Für die Form \[ Q (u) = \alpha u_r^2+ \sum _{\mu, \nu=1}^{r-1} b_{\mu\nu}u_{\mu}u_{\nu} \] (\(b_{\mu\nu}\) rational (\(1 \leqq \mu, \nu \leqq r - 1)\), \(\alpha >0\) und irrational) hat Walfisz (“Über Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden”, M. Z. 27 (1927), 245-268; F. d. M. 53, 158 (JFM 53.0158.*)) einen ähnlichen Zusammenhang zwischen der Größenordnung von \(P_Q (\xi)\) und dem Verhalten der Kettenbruchentwicklung von \(\alpha\) bewiesen):
Für \(\beta_1 > 0, \beta_2>0\) sei \(\lambda_0\) die obere Grenze der \(\lambda\), so daß zwei Folgen ganzer Zahlen \(p_1, p_2, \ldots \) und \(q_1, q_2, \ldots \) mit \[ \begin{aligned} &\lim_{n\to\infty} p_n =\infty,\\ &\lim_{n\to\infty} q_n = \infty \end{aligned} \] existieren, so daß \[ \dfrac{p_n}{q_n}-\dfrac{\beta_1}{\beta_2}=O\biggl(\dfrac{1}{q_n^{2+\lambda}}\biggr) \] ist. Ferner sei für \(\xi> 0\) und ganzes \(r_1\geqq 4\) \[ P(\xi ) =\sum_{(u_\varrho)}{}'1\dfrac{\pi ^{\tfrac{r}{2}}\xi^{\tfrac{r}{2}}} {\beta^{\tfrac{r_1}{2}}_1\cdot \beta_2^{\tfrac{r-r_1}{2}}\cdot \varGamma\biggl( \dfrac{r}{2}-1\biggr)} \] gesetzt, wobei die \(\sum'\) über die Gitterpunkte \((u_\varrho)\) des Bereiches \[ 0<\beta _1\sum _{\nu=1}^r u_\nu^2+\beta _2\sum ^r_{\mu=1}u^2_\mu\leqq \xi \] zu erstrecken ist. Dann ist für beliebiges \(\varepsilon > 0\) \[ P(\xi) = O\biggl (\xi^{\tfrac{r}{2}-1-\tfrac{1}{\lambda_0+1}+\varepsilon}\biggr), \] \[ P(\xi) = \Omega \biggl (\xi^{\tfrac{r}{2}-1-\tfrac{1}{\lambda_0+1}-\varepsilon}\biggr), \] also ist in diesem Fall \[ \mu=\dfrac{r}{2}-1-\dfrac{1}{\lambda_0+1}. \]

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