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Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen. (German) JFM 55.0115.01
Verf. beweist insbesondere den folgenden Satz: Man habe eine Matrix \[ \varOmega = (o_{\alpha\beta})\qquad (\alpha, \beta =1, 2, \ldots, n) \] mit ganzen rationalen, nicht negativen Elementen; \[ \varOmega^k =\bigl(o^{(k)}_{\alpha\beta}\bigr) \] sei ihre \(k\)-te Potenz. Die charakteristische Gleichung von \(\varOmega\): \[ \varPhi (\varrho) = |\varOmega-\varrho E|=0 \] sei im Rationalen irreduzibel und habe eine Wurzel \(\varrho_1\) die größer als Eins und größer als die absoluten Beträge der übrigen Wurzeln ist. In der Matrix \(\varOmega-\varrho_1E\) seien \(A^{(1)}_{1\beta}\) die adjungierten Unterdeterminanten der Elemente der ersten Zeile. Man habe ferner \(n\) komplexe Veränderliche \(z = (z_1,\ldots, z_n)\) und bezeichne die Transformation \[ z_\alpha' =\prod _{\beta=1}^n z_\beta^{o^{(k)}_{\alpha\beta}} \qquad (\alpha = 1, 2, \ldots, n) \] mit \(z' = \varOmega ^kz\). Die Koeffizienten \(A_{h_1\ldots h_n}\) der in der Umgebung des Nullpunktes konvergenten Reihe \[ S(z) = \sum _{h_1=0}^\infty \cdots \sum ^\infty_{h_n=0} A_{h_1\ldots h_n}z_1^{h_1}\cdots z_n^{h_n} \] mögen einem endlichen algebraischen Körper angehören; die durch diese Reihe dargestellte Funktion sei nicht algebraisch. \(S(z)\) genüge der Funktionalgleichung \[ S(\varOmega z)=\dfrac{\sum\limits_{l=0}^m a_l(z)S^l(z)}{\sum\limits_{l=0}^mb_l(z)S^l(z)}; \] darin sei \(m\) eine natürliche Zahl \(< \varrho_1\), und es seien \(a_l(z)\) und \(b_l(z) \;(l = 0, 1, \ldots, m)\) Polynome in den \(z_\alpha\) mit algebraischen Koeffizienten derart, daß die Polynome \[ \sum_{l=0}^m a_l(z)u^l, \quad \sum^m_{l=0}b_l(z)u^l \] in den \(z_{\alpha}\) und \(u\) teilerfremd seien, und daß mindestens eins von ihnen in \(u\) genau vom Grade \(m\) sei. \(\varDelta(z)\) bezeichne die Resultante dieser beiden Polynome. Dann ist für jedes System \(z\) mit algebraischen \(z_\alpha\) der Wert von \(S(z)\) transzendent, wenn folgende drei Voraussetzungen erfüllt sind: \[ \mathfrak R\biggl\{\sum_{\beta=1}^n\bigl |A_{1\beta}^{(1)}\bigr| \log z_\beta \biggr\}<0, \tag{1} \] \[ z_1z_2\cdots z_n\neq 0,\tag{2} \] \[ \varDelta (\varOmega ^k z)\neq 0 \qquad (k\geqq 0, \;\text{ganz}).\tag{3} \]
Bei einem Funktionentyp mit gewissen Eigenschaften in der Form von Funktionalgleichungen folgt also, abgesehen von gewissen Ausnahmepunkten, aus der funktionentheoretischen Transzendenz die Transzendenz der Funktionswerte an algebraischen Stellen. Verf. zeigt, daß die Voraussetzung (1) aus Regularitätsgründen in der Natur der Sache liegt. (IV 4.)

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References:
[1] P. E. B?hmer, ??ber die Transzendenz gewisser dyadischer Br?che?. Math. Annalen96.
[2] Siehe z. B. hierzu Cayley, Coll. math. papers II, p. 482.
[3] Dieser Satz golgt bereits daraus, da? die Wurzeln der charakteristischen Gleichung alle verschieden sind. Siehe Frobenius, Journ. f. Math.84, S. 11.
[4] Th. Skolem in der Arbeit: ?Einige S?tze ?ber ganzzahlige L?sungen gewisser Gleichungen und Ungleichungen?, Math,. Annalen95, S. 1 benutzt ?hnliche Hilfss?tze bei der Untersuchung diophantischer Gleichungen.?Es sei bemerkt, da? Satz 2 f?r algebraische Funktionen seine G?ltigkeit einb??t.
[5] Diese Absch?tzung ist eine triviale Verallgemeinerung der bekannten Ungleichung von Liouville f?r algebraische Zahlen: ?Sur les classes tr?s-?tendues de quantit?s dont la valeur n’est ni alg?brique, ni m?me r?ductible ? des irrationnelles alg?briques.? Journ. de math. (1)16, 133.
[6] Wegen dieser Entwicklungen vergleiche: Hardy-Littlewood, The analytic character of the sum of a Dirichlet’s series considered by Hecke, Hamb. Abh.3, 57, sowie die sp?ter genannte Arbeit von B?hmer.
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