×

Sur les propriétés arithmétiques des fonctions entières. (French) JFM 55.0116.01

Diese Arbeit schließt an eine Arbeit von S. Fukasawa (Tôhoku Math. Journ. 27 (1926), 41-52; F. d. M. 52) an, in der bewiesen wird, daß eine ganze Funktion, die von niedrigerer Ordnung als \[ \sigma=\dfrac{1440}{919+27\sqrt 5}=1,470\ldots \] ist, und die für ganze komplexe Zahlen ganzzahlig komplexe Werte annimmt, ein Polynom sein muß. Verf. verschärft dieses Resultat, indem er für die ganze ganzwertige Funktion nur voraussetzt, daß das Maximum \(M (r)\) ihres absoluten Betrages auf dem Kreise \(| z |=r\) die Bedingung \[ M (r) \leqq e^{(\alpha -\varepsilon)r^2} \] mit \(\alpha =\dfrac{\pi }{2}\biggl(1+e^{\tfrac{164}{\pi}}\biggr)^{-2}\) und \(\varepsilon > 0\) erfüllt. Die Konstante \(\alpha\) hält der Verfasser noch nicht für die bestmögliche; die Ordnung der Funktion dagegen kann in der Voraussetzung wegen des Beispiels der Weierstraßschen \(\sigma\)-Funktion offenbar nicht über 2 erhöht werden.
Die angewendeten Hilfsmittel sind zwei von Fukasawa bewiesene Lemmata, eine rohe Abschätzung der Gitterpunkte im Kreise und die Newtonsche Interpolationsformel für \(g(z)\) in der Form \[ F(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nP_n(z) + a,\quad P_n(z) = \prod ^n_{j=0} (z- z_j) \] für die nach wachsendem Betrag geordneten ganzen komplexen Zahlen \(z_j\). In dieser Formel ist \[ a_n=\sum_{j=0}^n\dfrac{g(z_j)}{P_n'(z_j)}=\dfrac{1}{2\pi i}\int\limits_c \dfrac{g(z)}{P_n(z)}dz. \] Wird mit \(v_n\) das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen \[ P_n'(z_j)\quad (j = 0,1, 2, \ldots, n) \] bezeichnet, so weist der Verfasser auf Grund der Voraussetzungen über \(g (z)\) nach, daß \(|v_na_n|\) gegen Null strebt. Da die Zahlen \(|v_na_n|\) aber Beträge ganzer komplexer Zahlen sind, so ist dies nur dadurch möglich, daß die \(a_n\) von einem gewissen \(n\) an Null sind, wodurch sich \(F(z)\) auf ein Polynom reduziert. Nach dem zweiten vonFukasawa stammenden Lemma kann aber \(F (z) - g(z)\) nur identisch verschwinden, also ist \(g (z)\) selbst ein Polynom.
Am Schlusse seiner Arbeit spricht der Verf. den Satz, jedoch ohne Beweis, für die ganzen Zahlen beliebiger imaginär-quadratischer Körper aus.
Die Lektüre der Arbeit ist leider durch eine große Zahl von Druckfehlern erschwert. (IV 4.)

PDF BibTeX XML Cite