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Sur les nombres transcendants. (French) JFM 55.0116.02

Verf. beweist, daß \(e^\pi\) und die Zahlen von der Form \(\omega^{i\sqrt p}\) mit algebraischem \(\omega\) und positivem ganzem \(p\) transzendent sind. Zum Beweis der Transzendenz von \(e^\pi\) geht Verf. so vor: Man betrachte die nach wachsendem Absolutbetrag und bei gleichem Absolutbetrag nach wachsendem Argument geordneten komplexen Zahlen \(Z_n\) mit ganzem reellem und imaginärem Teil. Angenommen, \(e^\pi\) sei algebraisch und genüge mit ganzen \(a_0, \ldots, a_q\) der Gleichung \[ a_0 x^q + a_1x^{q-1} \cdots +a_q=0. \] Dann ist \[ |z_n|=\sqrt{\dfrac{n}{\pi}}+o(n^{\tfrac12}), \] da (E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie Bd. 2, S. 185) mit \(\alpha < 2 \sqrt 2 \pi \) die Anzahl der innerhalb des Kreises \(|z|=\tau\) gelegenen Zahlen \(z_i\) gleich \(\pi \tau^2 + \alpha\tau + o (\tau)\) ist. Man kann \(e^{nz}\) nach den Polynomen \[ P_0 (z) = 1,\quad P_1 (z) =z, \ldots,\quad P_n(z) = z(z-z_1) \ldots (z - z_{n-1}),\ldots \] (Nörlund, Differenzenrechnung, S. 200) in der Gestalt \[ e^{\pi z}= a_0 + a_1P_1(z) + \cdots + a_nP_n(z) + R_n(z) \] mit \[ a_\nu=\dfrac{1}{2\pi i}\int\limits_{|z|=\nu} \dfrac{e^{\pi z}}{z(z-z_1)\ldots (z-z_\nu)}dz, \]
\[ R_n(z)=\dfrac{P_{n+1}(z)}{2\pi i}\int\limits _{|z|=n } \dfrac{e^{\pi z}}{z(z-z_1)\ldots (z-z_\nu)}dz \] entwickeln. Verf. leitet nach früheren Ergebnissen (Fukasawa, Tôhoku Math. Journ. 27 (1926), 41-52; F. d. M. 52; A. Gelfond, vgl. vorstehendes Referat) eine obere Abschätzung für einen mit dem Koeffizienten \(a_n\) zusammenhängenden Ausdruck her; ferner liefert die Annahme, daß die Zahl \(e^\pi\) algebraisch ist, eine untere Abschätzung für denselben Ausdruck; aus beiden Abschätzungen würde folgen, daß die Entwicklung \[ e^{\pi z}= \sum_\nu a_\nu P_\nu (z) \] nach einer endlichen Anzahl von Gliedern abbricht, was unmöglich ist. Bei der Betrachtung der Zahlen von der Form \(\omega ^{i\sqrt p}\) (s. oben) muß man diese Überlegungen auf den Körper \(P(i\cdot \sqrt p)\) übertragen. Verf. bemerkt ferner, daß seine Methode verallgemeinerungsfähig ist.

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Full Text: Gallica