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Über total monotone Folgen mit stetiger Belegungsfunktion. (German) JFM 55.0122.01

Eine Zahlenfolge \(\mu_0, \mu_1, \ldots \) heißt vollmonoton, wenn alle Differenzen \(\varDelta ^k\mu_n\geq 0\) sind \((k, n = 0, 1, \ldots)\). Die \(\mu_n\) erscheinen als Momente einer nicht abnehmenden Belegungsfunktion \(\psi(t)\) in \(0\leq t\leq 1\), so daß \[ \mu_n=\int_0^1 t^n\,d\psi (t), \quad n = 0,1, \ldots, \] ist; und wenn \(\psi(0) = 0, \psi (t) = \tfrac12 (\psi(t + 0) + \psi(t - 0))\) für \(t > 0\) gefordert wird, so ist \(\psi(t)\) eindeutig bestimmt. Schoenberg war [Math. Z. 28, 171–199 (1928; JFM 54.0212.02)] auf die Frage geführt worden, wann \(\psi(t)\) in \(0\leq t\leq 1\) stetig ausfällt, und hatte dafür mit funktionentheoretischen Hilfsmitteln hinreichende Bedingungen angegeben. Kaluza hat anschließend [ibid 28, 200–202 (1928; JFM 54.0224.03)] notwendige und hinreichende Bedingungen anderer Art angegeben, bei denen er ganz im Reellen verbleibt.
Jetzt gelingt es Schoenberg, seine Bedingungen ohne funktionentheoretische Hilfsmittel zu beweisen und zu zeigen, daß sie auch notwendig sind: Wird \(\psi_1(t) =\psi (t)\) in \(0 < t\leq 1\) und \(\psi_1 (0) = \psi (+0)\) gesetzt, so ist \[ \varPhi (s)=\int_0^1 t^s \,d\psi_1(t) \] für \(\text{Re}(s)\geq 0\) stetig und \[ M=\lim _{T\to \infty}\dfrac{1}{T}\int\limits _0^T |\varPhi (i\lambda)|^2d\lambda \] existiert. Die in Rede stehende Bedingung lautet nun einfach, daß \(\varPhi (0) =\mu_0\) und \(M = 0\) sein muß. Es ist nämlich die Quadratsumme der Sprünge von \(\psi (t)\) in \(0\leqq t\leqq 1\) gleich \[ |\varPhi (0)-\mu_0|^2 + M. \]

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