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Zur Theorie der Cesàroschen und Hölderschen Mittelwerte. (German) JFM 55.0125.02
In dieser Arbeit wird eine andre Ergänzung zum Knopp-Schneeschen Äquivalenzsatz (vgl. die vorstehend besprochene Arbeit) gegeben: Es wird die Frage aufgeworfen, welche Zahlenfolgen \((p_n), p_n \neq 0\), die Eigenschaft haben, daß für jede Folge \((x_n)\) und für jeden (positiv-ganzzahligen) Wert \(k\) die beiden Grenzwerte \[ \lim_n \dfrac{H^k(x_n)}{p_n} = l_k \quad \text{und} \quad \lim_n \dfrac{C_k(x_n)}{p_n} = l_k' \] entweder beide existieren oder nicht existieren.
Darüber gilt nun der abschließende und sehr schöne
Satz: Eine Folge \((p_n)\) hat dann und nur dann diese Eigenschaft, wenn
1. \(\qquad \lim\limits_n \dfrac{p_1+p_2+\cdots+p_n}{np_n} = a\) existiert und wenn
2. die Folge der Quotienten \(\dfrac{|p_1|+|p_2|+\cdots+|p_n|}{n|p_n|}, \;n=1, 2, \ldots\), beschränkt ist.
Sind diese Bedingungen erfüllt, so ist \(\mathfrak R (a) > 0\) oder \(a = 0\), und zwischen \(l_k\) und \(l_k'\) besteht die Beziehung \[ l_k=\dfrac{(1 + a)(1+ 2a)\ldots (l+(k - 1)a)}{k!}l_k'. \]
Entsprechend gilt als Ergänzung der bekannten Sätze von Frobenius, Hölder u. a.: Ist \(p_n > 0\) und ist für ein bestimmtes \(k\) \[ \lim_n\dfrac{H^k(s_n)}{p_n}=s \] vorhanden, so sind die Potenzreihen \(\sum s_nx^n\) und \(\sum p_nx^n\) für \(| x | < 1\) konvergent, und ihr Quotient strebt ebenfalls gegen \(s\), wenn \(x\) radial gegen 1 rückt.

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