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Über die analytische Darstellung willkürlicher Funktionen. (German) JFM 55.0157.02
Verf. behandelt die Frage, wann eine beliebige Funktion \(f(x)\) durch eine im Definitionsbereich absolut, aber nicht notwendig gleichmäßig konvergierende Reihe von Polynomen approximiert werden kann.
Auf Grund des Satzes, daß eine auf einer Menge \(\mathfrak A\) eines metrischen Raumes \(\mathfrak R\) oberhalb stetige Funktion zu einer in ganz \(\mathfrak R\) oberhalb stetigen Funktion erweitert werden kann, ergibt sich folgendes Resultat:
\(f(x)\) sei eine beliebige, im Bereich \(\mathfrak B\) definierte Funktion, \(\mathfrak A\) eine Teilmenge von \(\mathfrak B\). Dann und nur dann gibt es eine Reihe von Polynomen \(\textstyle \sum\limits_{n=1}^{\infty } \displaystyle P_n(x)\), die in \(\mathfrak A\) absolut konvergiert und dort die Funktion \(f(x)\) darstellt, wenn \(f(x)\) in \(\mathfrak A\) Summe zweier halbstetiger Funktionen ist.
Als Folgerung ergeben sich die folgenden beiden Sätze: (1) Ist \(f(x)\) eine Bairesche Funktion und \(\mathfrak A\) perfekt, dann gibt es eine Reihe von Polynomen, die in \(\mathfrak A\) bis auf eine Menge von erster Kategorie absolut konvergiert und \(f(x)\) darstellt. (2) Ist \(f(x)\) in \(\mathfrak A\) eine endliche Funktion, so gibt es stets eine in \(\mathfrak A\) dichte Teilmenge, in der \(f(x)\) durch eine in \(\mathfrak A\) absolut konvergente Reihe von Polynomen darstellbar ist.
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