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Beiträge zur Theorie der Orthogonalentwicklungen. I, II. (German) JFM 55.0164.02
Wegen der überaus zahlreichen, besonders eingeführten Begriffe und Symbole kann der Inhalt dieser reichhaltigen, sehr konzentriert geschriebenen Arbeit nur unvollkommen wiedergegeben werden.
Es handelt sich um die Untersuchung von Orthogonalreihen, die sich in normierten Vektorbereichen im Sinne von Banach (1922; F. d. M. 48, 201 (JFM 48.0201.*)-202) bewegt und mit der Methode der linearen Funktionaloperationen arbeitet.
Ist \(\{\varphi_i(x)\}\) ein normiertes Orthogonalsystem (\(OS\)) in \(\langle 0, 1 \rangle\), so heißt jede Reihe der Form \(\sum c_\nu\varphi_\nu\) eine Orthogonalreihe (\(OR\)). Haben die \(c_\nu\) die Form \(\textstyle \int\limits_{0}^{1}f(x)\,\varphi_\nu(x)\,dx\), so heißt die Reihe eine Orthogonalentwicklung (\(OE\)) von \(f(x)\) nach dem \(OS\{\varphi_i\}\), die \(c_\nu\) die Orthogonalkoeffizienten (\(OK\)). Mit \(s_n[f]\) werden die Teilsummen bezeichnet.
Ist \(V\) ein aus integrierbaren Funktionen bestehender Vektorbereich (s. Banach) und \(\{\varphi_i\}\) ein \(OS\), nach welchem jede Funktion aus \(V\) entwickelt werden kann, so heißt das \(OS\{\varphi_i\}\) vollständig in \(V\), falls für eine Funktion \(f_\varepsilon V\) aus den Gleichungen \[ \textstyle \int\limits_{0}^{1} \displaystyle f\cdot\varphi_n\,dx=0,\qquad(n=1,2,\dots ), \] notwendig, bis auf eine Nullmenge, \(f=0\) folgt.
Ein \(OS\{\varphi_i\}\) heißt abgeschlossen in \(V\), wenn es zu jeder Funktion \(f_\varepsilon V\) und zu jedem \(\eta>0\) ein solches Orthogonalpolynom \(k_\eta(x)=\sum c_\nu^{(\eta)}\varphi_\nu\) gibt, daß die Ungleichung \[ \|\,k_\eta(x)-f(x)\,\|<\eta \] gilt, bei der der Doppelstrich die Norm der Funktion in dem Vektorbereich bedeutet.
Es werden dann zahlreiche Sätze (im ganzen 26) bewiesen, die zunächst bei den \(OE\) die Konvergenz im Mittel mit der Potenz \(\delta\) behandeln, sodann über Faktorenfolgen aufklären, welche \(OK\) wieder in \(OK\) überführen, und schließlich die Eigenschaften der \(OK\) von Funktionen aus den Bereichen \(S^\delta\) betreffen (d. h. den samt ihrer \(\delta\)-ten Potenz, \(\delta\geqq 1\), integrierbaren Funktionen). Dabei soll das \(OS\{\varphi_i\}\) den folgenden Bedingungen genügen: Es sei \(T = (b_{nq})\) eine bestimmte zeilenfinite Toeplitzsche Matrix; es werde \[ K_n(x,t)=\textstyle \sum\limits_{q}\displaystyle b_{nq}\,\biggl(\textstyle \sum\limits_{\nu=1}^{q} \displaystyle \varphi_\nu(x)\,\varphi_\nu(t)\biggr) \] und \[ \sigma_n[f]=\textstyle \sum\limits_{q}\displaystyle b_{nq}s_q\,[f] \] gesetzt. Dann soll für alle \(n\) \[ |\,\varphi_n(x)\,|<M_n\;\text{und}\;\textstyle \int\limits_{0}^{1} \displaystyle |\,K_n(x,t)\,|\,dx<A \] sein. Dann gelten Sätze von folgender Art:
1. Damit die \(OR\;\sum c_\nu\varphi_\nu\) die \(OE\) einer Funktion aus \(S^\alpha\), \(\alpha>1\), sei, ist notwendig und hinreichend, daß für alle \(n\) die Beziehung \(\|\,\sigma_n(x)\,\|<C\) gelte.
2. Sind die \(f_i\) die \(OK\) einer Funktion \(f(x)\) aus \(S^\alpha\) und die \(g_i\) diejenigen einer Funktion \(g(x)\) aus dem konjugierten Bereich \(S^\beta\) (a. h. demjenigen, für den \(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=1\) ist), so ist die Reihe \(\sum f_ig_i\) \(T\)-summierbar zur Summe \[ \textstyle \int\limits_{0}^{1} \displaystyle f(x)\,g(x)\,dx. \]
3. Die folgenden drei Eigenschaften des \(OS\{\varphi_i\}\) sind äquivalent: (a) Vollständigkeit im Bereiche S**; (b) Abgeschlossenheit im Bereiche \(S^\alpha\); (c) die verallgemeinerte Parsevalsche Gleichung \[ T\text{-}\sum f_ig_i=\textstyle \int\limits_{0}^{1} \displaystyle f(x)\,g(x)\,dx. \]
In der zweiten Abhandlung werden zu den beiden folgenden Problemen zwölf Sätze bewiesen:
I. Gegeben ein \(OS\{\varphi_i\}\). Welche Folgen nichtnegativer Zahlen \(\{p_i\}\) haben die Eigenschaft, daß in \(S^\delta\) eine Funktion \(f(x)\) existiere, für deren \(OK\) \(\sum |\,f_i\,|\,p_i=+\infty \) ist?
II. Gegeben ein \(OS\{\varphi_i\}\). Welche Folgen nicht-negativer Zahlen \(\{p_i\}\) haben die Eigenschaft, daß jede Folge \(\{c_i\}\), für die stets \(|\,c_i\,|<p_i\) ist, als \(OK\) einer Funktion aus \(S^\delta\) aufgefaßt werden kann.

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