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Über quasianalytische Funktionen und Bestimmtheit asymptotischer Entwicklungen. (German) JFM 55.0184.04
Verf. setzt sich in dieser überaus reichhaltigen Arbeit das Ziel, neue und zwar wesentlich einfachere Beweise für die Carlemanschen Hauptsätze über quasianalytische Funktionen zu geben und zudem dieselben bedeutend zu vertiefen. Carleman hat bemerkt, daß die Bestimmung der quasianalytischen Funktionen mit dem folgenden Problem, vom Verf. als \(W\)-Problem oder Bestimmtheitsproblem bezeichnet, verknüpft ist: Wenn ein Gebiet \(G\) und ein Randpunkt \(z_0\) von \(G\) gegeben sind, unter welchen Bedingungen folgt für eine in \(G\) reguläre Funktion \(f (z)\) aus \[ \left| \frac {f(z)}{|z-z_0|^n} \right| \leqq m_n, \quad n = 1,2, \dots, \] \(f (z) \equiv 0\)? Carleman hat dieses Problem für einen Kreis gelöst. Durch Einführung einer geeigneten reellen Hilfsfunktion gewinnt der Verf. den Anschluß an die bekannten Borel-Wimanschen Untersuchungen über das größte Glied einer Potenzreihe. Mit Hilfe bekannter Schlüsse aus der Theorie der ganzen Funktionen gibt er dank Einführung dieser Hilfsfunktion neue und durchsichtigere Formulierungen für die Carlemansche Lösung des obigen Problems. Ist \(f (z) \not \equiv 0\) eine Funktion, welche die obige Ungleichung erfüllt, so beweist der Verf. die Darstellbarkeit von \(\log f (z)\) mittels eines Poissonschen Integrals. Gleichzeitig gibt der Verf. einen neuen Beweis für den bekannten Carlemanschen Konvergenzsatz, daß mit \(\sum a_n\) an zugleich auch \(\sum \root n \of {a_1a_2\dots a_n}\) konvergiert.
Im Anschluß an diese Ergebnisse gibt der Verf. die Lösung des \(W\)-Problems für allgemeinste einfach zusammenhängende Gebiete, sofern der Randpunkt \(z_0\), falls er ein mehrfacher Randpunkt ist, von höchstens abzählbarer Mehrfachheit ist und dasselbe für \(z = \infty\) gilt, wenn \(z = \infty\) auf dem Rande von \(G\) liegt. Darüber hinaus gestattet die vom Verf. gegebene Methode auch die Lösung des \(W\)-Problems für mehrfach zusammenhängende Gebiete, wenn der Randpunkt gewisse, sehr allgemeine Bedingungen erfüllt. Die Lösung des \(W\)-Problems für allgemeine einfach zusammenhängende Gebiete gelingt dem Verf. mittels Einführung der zum Gebiet \(G\) gehörigen \(\mu\)-Funktion, die der Verf. vollständig charakterisieren kann: \[ \mu (\lambda) = \underset{z \text{ in } G}{\text{ Sup }} \frac {|f(z)|}{|z-z_0|^\lambda}. \] Beim Beweise des Hauptsatzes betr. die Charakterisierung von \(\mu (\lambda) \) werden eine Reihe von Hilfssätzen über den Zusammenhang zwischen Riemannschen und Stieltjesschen Integralen sowie über die konforme Abbildung bewiesen, die allgemeinere Bedeutung besitzen. Z. B. sei der folgende erwähnt: Es sei \(G\) ein vielfach zusammenhängendes Gebiet. Bildet man \(G\) konform auf das Innere des Einheitskreises \( K \) ab, so liegt in jeder \(\varrho\)-Umgebung \(U_\varrho\) (P) eines beliebigen Punktes \(P\) des Randes \(R\) von \(G\) eine Menge erreichbarer Punkte, deren Bildmenge auf der Kreisperipherie positives Lebesguesches Maß hat. (IV 5.)

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References:
[1] A. Denjoy, C. R., t. 173 (1921), pp. 1329 ff.
[2] T. Carleman, C. R., t. 174 (1922), pp. 373 ff.
[3] E. Borel, C. R., t. 174 (1922), pp. 505 ff.
[4] T. Carleman, C. R., t. 174 (1922), pp. 994 ff.
[5] G. N. Watson Roy. Soc. Trans., London, A 211 (1911) pp. 279 ff. · JFM 42.0273.01
[6] F. Nevanlinna, Zur Theorie der asymptotischen Potenzreihen, Dissertation, Helsingfors, 1918, sowie die Fortsetzung dieser Arbeit in Annales academiae sc. Fennicae, A XVI, No. 8 (1921).
[7] f(z) wird dabei als für {\(\div\)}z{\(\div\)} regulär vorausgestetzt–bis eventuell aufz=1.
[8] Diese Abhandlung ist im Anschluss an ein Seminar entstanden, das ich im W.S 1926/27 in Göttingen über das Carlemansche Buch abhielt. Die vorliegende endgültige Gestalt hat sie indessen erst im W. S. 1928/29 erhalten.
[9] Man könnte übrigens die Äquivalenz dieser Bedingungen für verschiedenek auch direkt einsehen, indem man die Überlegungen der pp. 50–54 des Carlemanschen Buches in geeigneter Weise modifiziert. Vgl. auch Nrr. 4, 14 weiter unten.
[10] T. Carleman, p. 112 des oben ziterten Buches. Vgl. den besonders einfachen von Hrn.Littlewood herrührenden Beweis in dem in der Fussnote 11 zitierten Buch vonValiron, p. 186.
[11] Vgl. das zusammenfassende Buch von Hrn.Valiron, Lectures on the General Theory of Integral Functions, Toulouse, 1923, insbesondere pp. 30, 50.
[12] Vgl. Fussnote 3.
[13] Wir benutzen in dieser Abhandlung durchgehend die Hausdorffsche BezeichnungSup für die obere undInf für die untere Grenze. Ferner bezeichnen wir das monotone Zunehmen bzw. Abnehmen gegen {\(\alpha\)} mit |{\(\alpha\)} bzw.|{\(\alpha\)}. Ich benutze diese Bezeichnung seit Jahren in meinen Vorlesungen.
[14] Dieser bei uns mit Hilfe der konformen Abbildung definierte Begriff lässt sich auch, wie wir zeigen, geometrisch charakterisieren mit Hilfe einiger Ergebnisse vonO. D. Kellogg undS. Warschwski.
[15] Eine mit diesem Begriff zusammenhängende Vergleichsmethode zur Untersuchung des Anwachsens ganzer Funktionen, die sich im Keime bereits beiBorel undHadmard findet, hat durchWiman besonders weittragene Anwendungen gefunden. Später hatValiron diese Methode weiter ausgebaut und mit ihrer Hilfe eine Reihe wichtiger Ergebnisse hergeleitet. Vgl.Wiman, Acta math., Bd. 37 (1914), pp. 305 ff. und Bd. 41 (1916) pp. 1 ff. Vgl. fernerValibons oben zitiertes Buch.
[16] So bezeichne ich eine Begriffsbildung, die meines Wissens zum ersten Mal in der Arbeit vonG. Faber, Beitrag zur Theorie der ganzen Funktionen, Math. Ann., Bd. 70 (1911), p. 51, benutzt wird.
[17] H. Lebesgue, C. R. 150 (1910) pp. 86 ff.; Leçons sur l’intégration, 2. éd., Paris, 1928, pp. 258–260.
[18] A. Ostrowski, Über die Bedeutung der Jensenschen Formel für einige Fragen der komplexen Funktionentheorie, Acta Szeged, Bd., 1 (1923), pp. 80 ff. · JFM 49.0713.01
[19] A. Plessner, Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen. Inauguraldissertation, Giessen (1923), Mitteilungen des Math. Sem. Giessen, Heft to. · JFM 49.0204.02
[20] G. C. Evans undH. E. Bray, C. R. 176 (1923), pp. 1042 ff., wo ein schwächerer Staz bewiesen wird, undG. C. Evans, C. R. 177 (1923), pp. 241 ff., wo gerade die obige Fassung from liert und ein dem in18 gegebenen ganz analoger Beweis angedeutet wird. Vgl. ferner die Monographie vonG. C. Evans, The Logarithmic Potential, New York, 1927.
[21] Es ist dies ein sehr spezieller Fall eines Satzes vonP. Fatou undG. Szegö. Unser Beweis entspricht dem Fatouschen Beweis, ist aber, dem vorliegenden Fall entsprechend, ganz elementar.
[22] Wir sagen dann, die Folgem v sei eine W-Folge für den Kreis.
[23] Der Satz rührt vonCarleman her, bis auf den letzten Teil, der die Darstellbarkeit durch das Poissonsche Integral behauptet.
[24] Vgl. Fussnote 16 sowie Nr. 14 weiter unten.
[25] Vgl. hierzu etwaValiron, l. c., oben zitiertes Buch., p. 52.
[26] Vgl. Fussnote 10. Diese Beweismethode gestattet eine wesentliche Verallgemeinerung des Carlemanschen Konvergenzsatzes.
[27] Dies ergibt sich leicht aus den Sätzen vonO. D. Kellogg, Trans. Am. Math. Soc., Bd. 13 (1912), pp. 109 ff. und ist im Falle analytischer Randkurven nach einem in wesentlich allgemeineren Fällen gültigen Verfahren daraus vonW. F. Osgood undE. H. Taylor, Trans. Am. Math. Soc., Bd. 14 (1913), p. 282 gefolgert worden. Wir besprechen diese Sätze und ihre Verschärfungen durchS. Warschawski im § 5 Fussnote 43.
[28] Der auf die Bedingung (7, 3) bezügliche Teil der Behauptung ist neu, ebenso wie der daraus weiter unten hergeleitete Zusatz zum Satz V. Der Hilfssatz 3 bleibt natürlich richtig, wenn 1/2 durch eine beliebige positive Zahl ersetzt wird. Offenbar bleibt eine Abänderung von endlich vielenm n auf die Konvergenz von (7, 1) ohne Einfluss.
[29] Es ist dies eine der sogenannten Mellinschen Umkehrformeln.
[30] Nach der zweiten der sogenannten Mellinschen Umkehrformeln.
[31] Auf den so eingeführten Begriff gehe ich ausführlich im § 10 ein.
[32] Vgl. z.B. Valirons oben zitiertes Buch, pp. 28 ff. Für Dirichletsche Beihen vgl.Sugimura Math.Z. Bd. 29 (1928), p. 274 ff.
[33] Vgl. die klassische Abhandlung vonJ. L. W. V. Jensen, Acta Math., Bd. 30 (1905), pp. 175 ff. · JFM 37.0422.02
[34] Nach einem bekannten Satz vonDini (vgl.De La Vallée-Poussin, Cours d’Analyse infinitésimale, 3. éd., I. vol., pp. 98–99;Carathéodory, Reelle Funktionen, p. 534), ist der Wert vonm({\(\lambda\)}+{\(\delta\)})({\(\lambda\)})/{\(\epsilon\)} für {\(\epsilon\)}>0 gleich einem Mittelwert der Ableitung von rechts,M({\(\lambda\)}); wegen der Monotonie vonM({\(\lambda\)}) folgt hieraus weiterM({\(\lambda\)})=M({\(\lambda\)}+o).
[35] Es folgt dies z. B. nach einem Satz vonLebesgue (vgl.De. La Vallée-Poussin, l. c. Cours d’Analyse in finitésimale, 3. éd. 1. vol., p. 272) aus der Beschränktheit vonM({\(\lambda\)})
[36] Vgl für ein einfaches (im Wesentlichen vonCarathéodory herrührendes) Beispiel von Randpunkten von überabzählbarer Mehrfachheit z.B. E. Study, Vorlesungen über ausgewählte Gegenstände d. Geometrie, 2. Heft, Konforme Abbildung einfach zusammenhängender Bereiche, Leipzig, 1913, pp. 41–42.
[37] Diese Relation folgt sofort aus den Relationen (a) und (c) der Fussnote 24 (§ I, Nr. 3), wenn manr so gross annimmt, dassN(r)>1 wird, also z. B., wegen (b), sobald IgT(r)>r wird.
[38] Die in der Fussnote 43 zitierte Arbeit von Hrn.Warschawski wird einige Resultate über den Zusammenhang des Begriffs der generalisierten konformen Ecke mit dem Begriff der gewöhnlichen konformen Ecke enthalten.
[39] Es sei noch bemerkt, dass die Definition und die obige Theorie der {\(\mu\)}-Funktion sich insofern verallgemeinern lässt, als man austattz eine Vergleichsfunktionv(z) benutzen kann, die im GebietG regulär und , am Rande beschränkt und stetig ist und nur in einem Punkte verschwindet. Man kann so die in einigen der obigen Sätze hervortretende Ausnahmestellung des unendlich fernen Punktes aufheben.
[40] Man könnte hier ohne weiteres auch die allgemeineren Annahmen zugrunde legen, die bei den Betrachtungen der Nr. 23 benutzt worden sind.
[41] Vgl.H. Lebesgue, Pal. Reudiconti, Bd. 24 (1907), pp. 371 ff.
[42] Vgl. die in der Fussnote 18 zitierte Arbeit, sowieA. Khintchine Fund. Math., Bd. IV (1923), pp. 72ff.
[43] T. Rado, Math. Zeitschr., Bd. 20 (1924), pp. 2 ff. In einer kürzlich erschienenen Arbeit von HerrnS. Saks (Acta Szeged, Bd. IV (1928), pp. 51 ff.) wird eine der Relation (28, 1) ähnliche Relation bewiesen, bei der indessen angenommen wird, dass eine Bogen des Einheitskreises nicht zum Rand vonG gehört, was offenbar wesentlich spezieller ist als unser Resultat.
[44] Dieser Satz hängt mit den Resultaten zusammen, die HerrA. Zygmund (Math. Zeitschr. Bd. 25 (1926) pp. 274 ff.) über die Poissonsche Summation der trigonometrischen Reihen erhalten bat, namentlich mit den Théorèmes V und VI l. c. auf p. 284. Indessen werden bei diesen Sätzen andere Voraussetzungen über die Randfunktion der betrachteten Potentiale zugrunde gelegt. Andererseits kann man aus den Betrachtungen, die HerrZygmundl. c. Math. Zeitschr. Bd. 25 (1926) p. 288 entwickelt, folgern, dass in unserm Satze die Voraussetzung, die Menge der Unbeschränktheitspunkte sei abzählbar, nicht weggelassen werden kann, da man für jede sonst in betracht kommende Menge der Unbeschränktheitspunkte (sie mussB-messbar sein) Potentiale konstruieren kann, die unsern übrigen Bedingungen genügen, nur auf jener Menge Unbeschränktheitspunkte haben und sich durch das Poissonsche Integral nicht darstellen lassen. · JFM 52.0272.02
[45] Der Satz D wurde unabhängig vonA. Plessner, G. C. Evans und dem Verfasser aufgestellt. (Vgl. die in den Fussnoten 19, 20 und 18 zitierten Arbeiten.) Für positive Potentiale wurde der Satz bereits vor längerer Zeit vonG. Herglotz, Leipz. Ber. Bd. 63 (1911), pp. 501–511 bewiesen.
[46] Dies folgt bereits aus den ersten Sätzen über die Konvergenz von trigonometrischen Reihen bis auf eine Nullmenge, die vonJerosch undWeyl aufgestellt worden sind (Math. Ann., Bdd 66 (1909), pp. 67 ff. und 67 (1909), pp. 225 ff.). · JFM 39.0320.04
[47] Vgl. die in der Fussnote 42 zitierte Abhandlung, p. 345.
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