Sur les fonctions algébroides méromorphes. (French) JFM 55.0195.02

Valiron, G.

C. R. 189, 729-731 (1929).

Die algebroide Funktion \(u(z)\) sei definiert durch: \[ \psi (u)\equiv A_\nu u^\nu +\dots +A_0=0, \] wo die \(A_\varrho =A_\varrho (z)\) ganze Funktionen sind. \(u_1, \dots, u_\nu \) seien die Zweige von \(u\), und \(A(z) = \underset{\varkappa }{\text{Max}}\;|\,A_\varkappa \,(z)\,|\).
Die charakteristische Funktion von \(u\) ist: \[ T(r)=\frac{1}{\nu }\biggl[\frac{1}{2\pi } \sum_{\varkappa =1}^{\nu } \int_{0}^{2\pi }\overset{+}{\log}\; |\,u_\varkappa (re^{i\varphi })\,|\,d\varphi +N\,(r,A_\nu )\biggr]. \]
Es werden verschiedene Relationen zwischen \(T(r)\) und Mittelwerten von \(N(r,\psi (a))\) aufgestellt, z. B. \[ \nu T\,\biggl(r,\frac{u(z)}{\varrho }\biggr)= \frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi } N\,[r,\psi \,(\varrho e^{i\varphi })]\,d\varphi + \sum_{1}^{\nu } \overset{+}{\log}\,\biggl|\,\frac{u_\varkappa (0)}{\varrho }\, \biggr|.\tag{1} \] \[ \biggl|\,\,\nu T\,(r,u(z))-\frac{1}{\pi } \int\int N\,[r,\psi \,(a)]\,d\omega \biggr|<K. \tag{2} \]
In (2) ist über die Riemannsche Kugel zu integrieren. Aus (1) kann man für \(\varrho =1\) den Wert von \(\dfrac{dT(r)}{d\,\log\,r}\) ablesen und erkennen, daß \(T\) eine konvexe Funktion von \(\log r\) ist. Eine allgemeinere Aussage ist: \(\lim_{r\to\infty }\dfrac{\nu \cdot T(r,u)}{N_1(r,\psi (a))}=1\), wenn \(N_1\,(r,\psi (a))\) der Mittelwert von \(N\,(r,\psi (a))\) auf irgendeinen rektifizierbaren Kurve oder einer quadrierbaren Punktmenge ist, \(a\) außerhalb einer gewissen Menge vom linearen Maß 0 liegt und \(r\) im Falle unendlicher Ordnung der Funktion außerhalb gewisser Intervalle bleibt. Ferner gibt es auf der Kugel eine Punktmenge \(E\) vom sphärischen Inhalt 0, so daß gilt: Wenn das sphärische Bild von \(a\) außerhalb von \(E\) liegt und \(r>r(a)\), \(k>\tfrac{1}{2}\) ist, dann ist \(N[r,\psi (a)]>\nu \cdot T(r)-[T(r)]^k\). Bemerkenswert ist, daß man dabei für \(r\) nicht gewisse Intervalle auszuschließen braucht wie bisher bei allen derartigen Abschätzungen.
Jetzt sei \[ f(z)=A_0(z)+A_1(z)\cdot x_1+\dots +A_\nu (z)\cdot x_\nu, \] wo die \(x_1, \dots, x_\nu \) beliebige Zahlen sind, \[ \mu (A)=\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi } \log\,A(re^{i\varphi })\,d\varphi . \] Dann ist im allgemeinen, wenn die \(x_\varrho \) willkürlich sind: \[ \lim_{r\to\infty }\frac{N(r,f)}{\mu (A)}=1. \] \(\mu(A)\) charakterisiert also die Dichtigkeit der Nullstellen von \(f(z)\). (Vgl. auch die auf S. 199-201 besprochenen Arbeiten des Verf.)

Reviewer: Rado, Dr. R. (Cambridge)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.