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Zur Fortsetzbarkeit gewisser Dirichletscher Reihen. (German) JFM 55.0201.03

Im Anschluß an einen Satz von E. Hecke [Über analytische Funktionen und die Verteilung der Zahlen mod Eins, Abh. Hamburg 1, 54–76 (1921; JFM 48.0184.02)] und G. H. Hardy und J. E. Littlewood [The analytic character of a Dirichlet’s series considered by Hecke, Abh. Hamburg 3, 57–68 (1923; JFM 49.0130.06)) über die Fortsetzbarkeit der Dirichletreihen von der Form \[ \sum_1^{\infty} \frac{n\omega -[n\omega ]-\tfrac{1}{2}}{n^s} \] mit einer quadratischen Irrationalität \(\omega \) beweist Verf. folgenden allgemeineren Satz:
Man habe zwei Polynome \(f_1(\xi,\eta)\) und \(f_2(\xi,\eta)\) mit reellen Koeffizienten vom Grade \(n_1\) bzw. \(n_2\); es sei \(\overline{f}_1(\xi ,\eta)\) der höchste homogene Bestandteil von \(f_1(\xi,\eta)\) und ferner \[ d=\begin{cases} 2,\;\text{wenn}\;f_1(\xi,\eta)-\overline{f}_1(\xi,\eta)\;\text{identisch verschwindet,}\\ 1\;\text{sonst.}\end{cases} \]
Es sei \[ f_1(\xi,\eta)>0\quad \text{für}\;\xi \geqq 1,\eta\geqq 1 \] und \[ \overline{f}_1(\xi,\eta)>0\quad\text{für}\;\xi \geqq 0,\eta\geqq 0, \xi +\eta>0, \] ferner habe man eine quadratische positive Irrationalität \(\omega \). Verf. betrachtet die Funktion \[ \varPhi _\omega (s)= \textstyle \sum\limits_{\eta=1}^{\infty }\sum\limits_{\xi =1}^{[\omega \eta]} \displaystyle\frac{f_2(\xi,\eta)}{(f_1(\xi,\eta))^s} \] und zeigt, daß sie meromorph in die ganze \(s\)-Ebene fortsetzbar ist; er gibt ferner die Lage der Stellen an, die als Pole in Betracht kommen (diese hängen zum Teil mit der erzeugenden positiven Einheit des durch Adjunktion von \(\omega \) zum Rationalen entstehenden Körpers zusammen).
Verf. benutzt insbesondere einen Satz von H. Mellin [Eine Formel für den Logarithmus transzendenter Funktionen von endlichem Geschlecht, Acta Soc. Fennicae 29 (1902; JFM 34.0469.03)]. K. Mahler [ Über einen Satz von Mellin, Math. Ann. 100, 384–398 (1928; JFM 54.0369.03)] und einen Satz über die Fortsetzbarkeit Dirichletscher Reihen von der Form \[ \textstyle \sum\limits_{\xi =1}^{\infty } \displaystyle \textstyle \sum\limits_{\eta=1}^{\infty } \displaystyle \biggl(\frac{\xi +\omega _1\,\eta}{\xi +\omega _2\,\eta}\biggr)^\lambda (\xi +\omega _2\,\eta)^{-s} \] mit positivem ganzem \(\lambda \), reellem positivem \(\omega _2\) und komplexem \(\omega _1\). (Hardy und Littlewood benutzen loc. cit. einen ähnlichen Satz.)

MSC:

11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
30B50 Dirichlet series, exponential series and other series in one complex variable
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