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Algebraic combinations of exponentials. (English) JFM 55.0211.03
Die Arbeit befaßt sich mit Funktionen, welche durch Gleichungen der Form \[ \displaylines{\rlap{\qquad(1)} \hfill P_nw^n+P_{n-1}w^{n-1}+\dots +P_0=0\qquad (P_n\not\equiv 0) \hfill} \] definiert sind, wo die gegebenen \(P_i\) Exponentialpolynome, d. h. Funktionen der Form \[ P\,(z)=a_0e^{\alpha _0z}+a_1e^{\alpha _1z}+\dots +a_me^{\alpha _mz} \] mit beliebigen komplexen Konstanten \(a\) und \(\alpha \) bedeuten.
Offensichtlich hat jede Lösung von (1) im Endlichen höchstens Pole und Verzweigungspunkte.
1. Verf. wirft zunächst die Frage nach den eindeutigen Lösungen auf und zeigt: a) Ist eine Lösung von (1) eindeutig in einem Sektor, dessen Öffnung größer als \(\pi \) ist, so ist sie von der Form \(w=\dfrac{Q}{P_n}\), wo \(Q\) ein Exponentialpolynom bedeutet, dessen Exponenten lineare Kombinationen der Exponenten der \(P\) mit rationalen Koeffizienten sind. b) Ist der Quotient \(\dfrac{P}{Q}\) der beiden Exponentialpolynome \(P\), \(Q\) analytisch in einem Sektor, dessen Öffnung größer als \(\pi \) ist, so ist \(\dfrac{P}{Q}\) ein Exponentialpolynom. (Vgl. dazu das folgende Referat.)
2. Weiter wird die Frage nach der Anzahl der durch (1) definierten analytischen Funktionen behandelt. Wird (1) in die Form \[ \displaylines{\rlap{\qquad(2)} \hfill w^n+Q_{n-1}w^{n-1}+\dots +Q_0=0 \qquad\biggl(Q_i=\frac{P_i}{P_n}\biggr) \hfill} \] gesetzt, so heißt (2) “irreduzibel”, wenn die linke Seite nicht in ein Produkt zweier Polynome in \(w\), beide von niedrigerem Grad als \(n\) und mit Koeffizienten, die Quotienten von Exponentialpolynomen sind, zerlegbar ist. Satz: Eine irreduzible Gleichung (2) definiert nur eine einzige analytische Funktion \(w\).
Über diese Funktion läßt sich eine Reihe von Aussagen machen (Ein vom Nullpunkt ausgehender Strahl heißt “singulär”, wenn kein Sektor existiert, in dessen Innerem (\(\alpha \)) ein unendlicher Teil des Strahls liegt und (\(\beta \)) alle \(n\) Zweige von \(w\) analytisch sind. Ein singulärer Strahl heißt ein “Verzweigungsstrahl”, wenn jeder den Strahl im Innern enthaltende Sektor unendlich viele Verzweigungspunkte enthält): Ist die Funktion \(w\) Lösung der irreduziblen Gleichung (1), so besitzt sie eine endliche Anzahl singulärer Strahlen. Ein von zwei aufeinanderfolgenden singulären Strahlen gebildeter Sektor enthält einen Teilsektor, in dem alle Zweige von \(w\) analytisch sind. Ist \(w\) nicht ganz, so hat es mindestens zwei singuläre Strahlen. Ist \(n>1\), so besitzt \(w\) mindestens zwei Verzweigungsstrahlen, und kein Zweig von \(w\) ist in einem Sektor, dessen Öffnung größer als \(\pi \) ist, eindeutig. Ist \(S\) ein von zwei (nicht notwendig aufeinanderfolgenden) singulären Strahlen gebildeter Sektor, und ist der Zweig \(w_1\) von \(w\) in einem Teilsektor von \(S\) analytisch, so kann \(w_1\) entwickelt werden in eine Reihe \[ v_1e^{\sigma _1z}+v_2e^{\sigma _2z}+\dots +v_pe^{\sigma _pz}+ \cdots,\qquad|\,\sigma _p\,|\to\infty \] (\(v_p\), \(\sigma_p\) komplexe Konstanten), die in einem Teilsektor \(T\) von \(S\) absolut konvergiert. Die Reihe konvergiert sogar in jedem Sektor, dessen Scheitel mit dem von \(T\) zusammenfällt, der aber sonst im Innern von \(T\) liegt, normal (d. h. zu jedem \(h > 0\) gibt es ein \(q\), sodaß \(\textstyle \sum\limits_{p=q+1}^{\infty } \displaystyle |\,v_pe^{\sigma _pz}\,|<e^{-h|\,z\,|}\) für jedes \(z\) des Sektors). Diese (in einem Teilsektor von \(S\) normal konvergente) Entwicklung ist eindeutig bestimmt. Ist \(w_1\) in keinem Sektor, der denselben Scheitel wie \(T\) besitzt, sonst aber \(T\) im Innern enthält, analytisch, so konvergiert die Entwicklung im vollen Sektor \(T\) nicht normal.
Weiter wird gezeigt: Ist (2) irreduzibel und \(n > 1\), so liegen in jedem Sektor, dessen Öffnung größer als \(\pi \) ist, außerhalb jedes beliebig großen Kreises Verzweigungspunkte von \(w\), welche die ganze Monodromiegruppe von \(w\) erzeugen.
3. Als Vorbereitung für diese Untersuchungen gibt die Arbeit Resultate über Dirichletsche Reihen mit komplexen Koeffizienten und Gleichungen der Form (1), in denen die \(P_i(z)\) Dirichletsche Reihen bedeuten.

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References:
[1] Hille, Note on Dirichlet series with complex exponents, Annals of Mathematics, (2), vol. 25 (1924), pp. 261-278. · JFM 50.0233.03
[2] Pólya, Geometrisches ueber die Verteilung der Nullstellen gewisser ganzer transzendenter Funktionen, Münchener Berichte, 1920. · JFM 47.0303.04
[3] J. F. Ritt, On the zeros of exponential polynomials, Trans. Amer. Math. Soc. 31 (1929), no. 4, 680 – 686. · JFM 55.0212.01
[4] -, (2) A factorization theory for functions \( \sum\nolimits_{i = 1}^n {{a_i}{e^{{\alpha _{{i^x}}}}}} \), these Transactions, vol. 29 (1927), pp. 584-596.
[5] J. Tamarkin, Some general problems of the theory of ordinary linear differential equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions, Math. Z. 27 (1928), no. 1, 1 – 54. · JFM 53.0419.02 · doi:10.1007/BF01171084 · doi.org
[6] Schwengler, Geometrisches ueber die Verteilung der Nullstellen spezieller ganzer Funktionen, Dissertation, Zurich, 1925.
[7] Wilder, Expansion problems in ordinary linear differential equations with auxiliary conditions at more than two points, these Transactions, vol. 18 (1917), pp. 415-432. · JFM 46.0697.02
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