On the zeros of exponential polynomials. (English) JFM 55.0212.01

Ritt, J. F.

Transactions A. M. S. 31, 680-686 (1929).

Die Note enthält die beiden folgenden Sätze über Exponentialpolynome \[ a_0e^{\alpha _0z}+a_1e^{\alpha _1z}+\dots +a_me^{\alpha _mz} \] mit konstanten Koeffizienten \(a\) und konstanten Exponenten \(\alpha \):
1. Sind \(A(z)\) und \(B(z)\) zwei Exponentialpolynome \((B(z)\not\equiv)\) und ist \(\dfrac{A\,(z)}{B\,(z)}\) ganz – also jede Nullstelle von \(B(z)\) auch Nullstelle von \(A(z)\) –, dann existiert ein Exponentialpolynom \(C(z)\) derart, daß \(A(z)=B(z)\cdot C(z)\) ist. (Vgl. dazu das vorhergehende Referat.)
2. Sind die Exponenten \(\alpha \) reell und \(0=\alpha _0<\alpha _1<\dots <\alpha _m\), ferner \(a_0 = 1\), so ist die Summe der Realteile derjenigen Nullstellen \(z = x+iy\) des Exponentialpolynoms \[ f(z)=1+a_1e^{\alpha _1z}+\dots +a_me^{\alpha _mz}\,, \] welche dem Streifen \(u < y < v\)(\(u\), \(v\) reell, \(v > u\)) angehören: \[ R(u,v)=-\frac{(v-u)\,\log\,|\,a_m\,|}{2\pi }+O(1). \]

Reviewer: Lösch, Dr. F. (Stuttgart)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 6. Besondere Funktionen. A. Elementare Funktionen. Die \(\varGamma\)-Funktion und verwandte Funktionen.