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Eine Anwendung der eindimensionalen Greenschen Funktion. (German) JFM 55.0234.04
Eine im Intervall von \(x = - 1\) bis \(x= + 1\) definierte stetige Funktion \(f (x)\), welche den sämtlichen Gleichungen \[ \int\limits_{-1}^{+1} x^n f (x)\, dx = 0\qquad (n= 0,\,1,\,2,\,\ldots) \] oder, was dasselbe besagt, den Gleichungen \[ \int\limits_{-1}^{+1} P_n(x)f(x)\,dx = 0 \qquad (n =0,\,1,\, 2,\,\ldots) \] (\(P_n(x)\) bedeutet das \(n\)-te Legendresche Polynom) genügt, verschwindet bekanntlich identisch.
Während dieser Satz gewöhnlich mit Hilfe des Weierstraßschen Approximationssatzes bewiesen wird, kann umgekehrt aus ihm zunächst ein sehr allgemeiner Satz über die Darstellung willkürlicher Funktionen durch Legendresche Polynome (vgl. Kneser, Integralgleichungen, 2. Aufl. (1922), § 33; F. d. M. 48, 1246 (JFM 48.1246.*)-1247) und daraus der Weierstraßsche Approximationssatz gefolgert werden. Man hat also zugleich einen neuen Zugang zum Weierstraßschen Approximationssatz, wenn es gelingt, einen von diesem unabhängigen Beweis des eingangs zitierten Satzes zu geben. Ein solcher Beweis wird in der vorliegenden Arbeit auseinandergesetzt. Er stützt sich auf die Tatsache, daß die normierte Funktion \(\varphi_n (x) = \sqrt{n+ \frac12} P_n (x)\) der Integralgleichung \[ \begin{split} \varphi_n (\xi) = n (n + 1) \int\limits_{-1}^{+1} G (x, \xi) \varphi_n (x)\, dx\\ \text{mit}\;\;G(x,\xi)= \begin{cases} -\frac12\log[(1-x)(1+\xi)] -\frac12+\log2\;\text{für}\;x>\xi\\ -\frac12\log[(1-\xi)(1+x)] -\frac12+\log2\;\text{für}\;x<\xi\\ \end{cases} \end{split} \] genügt. (IV 3 C.)
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