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Zur Theorie der Zusammensetzung der endlichen kontinuierlichen Transformationsgruppen. (German) JFM 55.0245.04

Verf. kommt auf seine Untersuchungen (1886; F. d. M. 18, 316 (JFM 18.0316.*)-317) über die Trilinearform \(\sum c_{iks} x_i y_k u_s\) der kontinuierlichen Gruppen zurück und geht diesmal mit Hilfe der symbolischen Methode vor. Er zeigt, wie sich die Jacobische Relation als das Verschwinden einer Kovariante zweiten Grades deuten läßt, und wie diese aussieht, er gibt ferner den symbolischen Ausdruck für die adjungierte Gruppe an und deutet deren Gliederzahl und die der abgeleiteten Gruppe als Rangzahlen. Näher behandelt werden noch die Spur der adjungierten Gruppe, die Cartansche Form \(\psi_2\) und schließlich die Trilinearform (nicht symbolisch geschrieben) *\(\sum c_{rs}^{\beta} c_{t \lambda}^{\varkappa} c_{\beta \varkappa}^{\lambda} e^r f^s g^t\), die man erhält, wenn man \(\psi_2\) als Bilinearform auffaßt und eine Variable durch \((\sum e^{\varrho} X_{\varrho}, \, \sum f^{\varrho} X_{\varrho})\), die andere durch \(\sum g^{\varrho} X_{\varrho}\) ersetzt (und deren Verschwinden ein bekanntes Auflösbarkeitskriterium ist). Verf. beweist mit Hilfe der symbolischen Methode, daß diese Form in je zwei Indizes alternierend ist (unsymbolisch folgt das wohl noch einfacher mit Hilfe der Jacobischen Relation: \[ = \left. \sum \left( c_{\alpha r}^{\gamma} c_{\beta s}^{\alpha} c_{\gamma t}^{\beta} - c_{\alpha t}^{\gamma} c_{\beta s}^{\alpha} c_{\gamma r}^{\beta} \right) e^r f^s g^t \right). \] Diese Tatsache ist bereits von Cartan und Schouten (Proceedings Amsterdam 29 (1926); F. d. M. 52) bemerkt, aber, wie Verf. betont, erstaunlicherweise in ihrer Tragweite nicht gewürdigt worden. Sie ergibt nämlich im halbeinfachen Fall unmittelbar den Satz, daß sich \(c_{\varrho \sigma}^i\) auf vollständig alternierende Gestalt bringen läßt (man braucht nur \(\psi_2\) gleich der Einheitsform zu setzen).
Diese Bemerkung bildet den Hauptpunkt der vorliegenden Arbeit, die zum Schluß noch eine Anwendung der Ergebnisse auf die ebene projektive Gruppe bringt.

Citations:

JFM 18.0316.*
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