×

zbMATH — the first resource for mathematics

On a problem in the theory of groups arising in the foundations of infinitesimal geometry. (English) JFM 55.0247.02
In einer Arbeit im Bulletin A. M. S. 35, 716-725 (F. d. M. 55\(_{II}\), V 6 C) hat Weyl das Cartansche Verfahren, einer Mannigfaltigkeit einen zu einer kontinuierlichen Gruppe gehörigen Zusammenhang aufzuprägen, dahin präzisiert, daß er eine Zuordnung im Infinitesimalen (erster und ev. höherer Ordnung) zwischen den Punkten der Mannigfaltigkeit und der Tangentialebene forderte. Die Herstellung dieser Zuordnung führt auf das gruppentheoretische Problem, die Gruppe \(\mathfrak{G}\) aller genügend oft differenzierbaren, den Nullpunkt festlassenden Transformationen der Grundvariablen \(x_1, \ldots, x_n\) darzustellen durch eine Gruppe linearer (im Falle des projektiven Zusammenhangs projektiver) Transformationen der Koordinaten \(\xi_1, \ldots, \xi_N\) der Tangentialebene. Die Darstellung wird als vollständig reduzibel vorausgesetzt; die allgemeinen Überlegungen liefern bereits weitgehende Aussagen über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten der Transformation von \(\mathfrak{G}\) und denen der darstellenden Matrix. In dem mit Rücksicht auf die oben zitierte Arbeit speziell interessierenden Fall, daß die Darstellung die projektive Gruppe von \(n\) unabhängigen Veränderlichen ist \((N = n + 1)\), wird das Problem restlos gelöst. Es ergibt sich \[ \alpha_k^i = a_k^i, \quad \alpha_0^0 = 1, \quad \alpha_0^i = 0, \quad \alpha_k^0 = \text{const.} \sum\limits_{i} a_{ik}^i, \] wenn \((\alpha)\) die darstellende Matrix ist und \(a_k^i\) die Koeffizienten der linearen, \(a_{ik}^i\) die der quadratischen Bestandteile der dargestellten Transformation sind. Je nach dem, ob die Konstante verschwindet oder nicht, führt das auf die in der affinen Tangentialebene oder auf die in der projektiven Halbschmiegebene (siehe die oben zitierte Arbeit) der \(x\)-Mannigfaltigkeit induzierte Transformationsgruppe, ein Resultat, das den in jener Arbeit eingenommenen Standpunkt rechtfertigt.

Subjects:
Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 8. Kontinuierliche Gruppen. Differentialinvarianten. Integralinvarianten.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI