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On the operational solution of linear differential equations and an investigation of the properties of these solutions. (English) JFM 55.0255.04

Verf. geht von der Operatordarstellung \(f(p)\) einer Funktion \(h(x)\) durch Carsons Integral \[ f(p) = p \int\limits_{0}^{\infty} e^{-px} h(x) \, dx \] aus und stellt zunächst 15 teils bekannte, teils neue Theoreme dieses Integrals zusammen, wobei sich u. a. eine Identität zwischen einer Heavisideschen “impulsive”-Funktion und der Diracschen \(\delta\)-Funktion herausstellt. Das wichtigste dieser Theoreme ist vom Typ eines “produit de composition”, wie es Volterra definiert und Borel (Leçons sur les séries divergentes (1928); F. d. M. 54, 223 (JFM 54.0223.*)) in seiner “sommation exponentielle” divergenter Reihen benutzt. Einige der allgemeinen Theoreme werden näher untersucht und einige Beispiele diskutiert. Sodann werden mit Hilfe der Operator-Methode Lösungen von einigen linearen Differentialgleichungen mit konstanten und mit variablen Koeffizienten gegeben. Und zwar geht Verf. bei den letzteren von der Differentialgleichung für die Besselschen Funktionen \[ \frac{d^2 z}{d u^2} + \frac{1}{u} \frac{dz}{du} + \left( 1 - \frac{n^2}{u^2} \right) z = 0 \] aus. Mit Hilfe der vorher angegebenen Sätze werden einige bekannte Eigenschaften dieser Funktionen neu abgeleitet und einige neue Relationen gefunden. Weiterhin werden Operatorausdrücke für Legendresche, Laguerresche und Hermitesche Polynome erhalten und insbesondere eine neue Integralgleichung, die Legendresche Polynome enthält. Die Arbeit schließt mit der Zusammenstellung einer Anzahl der abgeleiteten Operatorausdrücke und Integralgleichungen. (IV 7.)

Citations:

JFM 54.0223.*
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