×

zbMATH — the first resource for mathematics

Zum Sturm-Liouvilleschen Problem. (German) JFM 55.0259.02
Zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenfunktionen der Differentialgleichung \[ \frac{d}{dx} \left( p(x) \frac{dy}{dx} \right) + \lambda k(x) y = 0 \] mit den Randbedingungen \[ \begin{aligned} & \alpha y'(a) - \beta y(a) = 0, \quad \gamma y'(b) + \delta y(b) = 0, \\ & \beta > 0, \quad \delta > 0, \quad \alpha \geqq 0, \quad \gamma \geqq 0, \quad \alpha + \gamma > 0, \end{aligned} \] unter Voraussetzung der Stetigkeit von \(k(x)\) und der Stetigkeit und stetigen Differenzierbarkeit von \(p(x)\) im Intervall \((a, b)\) geht man bekanntlich aus von der Lösung desselben Randwertproblems für die Gleichung \[ \frac{d}{dx} \left( p \frac{dy}{dx} \right) + \lambda k(x) y = h(x), \] wobei \(h(x)\) im Intervall \((a, b)\) als stetig angenommen wird.
Dasselbe gilt noch unter Voraussetzung der stückweisen Stetigkeit von \(\dfrac{dp}{dx}\), \(k\) und \(h\). Die Behandlung dieses Problems führt Verf. auf die Lösung der ersten Randwertaufgabe für die Gleichung \[ \frac{d}{dx} \left( \boldsymbol{p} \frac{dy}{dx} \right) + \lambda \boldsymbol{k} y = \boldsymbol{h} \] im Intervall \(\left( a - \dfrac{\alpha}{\beta}, a + \dfrac{\gamma}{\delta} \right)\) zurück; dabei ist \[ \boldsymbol{p}(x) = \left\{ \begin{aligned} p(a) \quad & \text{für} \quad x \leqq a \\ p(x) \quad & \text{in} \quad \langle a, b \rangle, \\ p(b) \quad & \text{für} \quad x \geqq b \end{aligned} \right. \]
\[ \boldsymbol{k} (x) = \left\{ \begin{aligned} k(x) \quad & \text{in} \quad \langle a, b \rangle \\ 0 \quad & \text{sonst} \end{aligned} \right., \quad \boldsymbol{h} (x) = \left\{ \begin{aligned} h(x) \quad & \text{in} \quad \langle a, b \rangle \\ 0 \quad & \text{sonst}. \end{aligned} \right. \] Eigenwerte und Eigenfunktionen dieses Problems stimmen mit denen des Sturm-Liouvilleschen Problems überein.
Analog kann auch die Differentialgleichung \[ \frac{d}{dx} \left( p \frac{dy}{dx} \right) + q \cdot y + \lambda k y = 0 \] behandelt werden.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML