On the linear ordinary \(q\)-difference equation. (English) JFM 55.0263.01

Adams, C. R.

Annals of Math. (2) 30, 195-205 (1929).

Im Anschluß an eine von ihm ein Jahr vorher (Transactions A. M. S. 30 (1928), 507-541; F. d. M. 54, 483) veröffentlichte Arbeit behandelt Verf. die Gleichung \[ \sum_{\nu=0}^{n} a_{\nu}(x) f(q^{n-\nu} x) = 0, \tag{1} \] in welcher \(q\) eine von Null verschiedene Konstante, \(x\) eine komplexe Variable, \(f\) die gesuchte Funktion und die \(a_{\nu} (x)\) gegebene Funktionen bedeuten, für die für \(|x| < R\) die Entwicklungen \[ a_{\nu}(x)=a_{\nu 0}+a_{\nu 1}x+a_{\nu 2}x^2+\ldots \qquad (\nu=0,1,\ldots,n) \tag{2} \] gültig sind. Je nach dem Verhalten der Wurzeln der “charakteristischen Gleichung” von (1) \[ a_{00}\varrho^n+a_{10}\varrho^{n-1}+\ldots+a_{n-10}\varrho+a_{n0}=0 \tag{3} \] wird in bekannter Weise zwischen dem regulären und irregulären Fall von (1) unterschieden. Der reguläre Fall ist von Grévy (1894; F. d. M. 25, 671-672), Carmichael (1912; F. d. M. 43, 411-412), Mason (1915; F. d. M. 45, 509-510) und Ryde (1921; F. d. M. 48, 529) behandelt worden; Mason hat auch den irregulären Fall teilweise berücksichtigt.
Verf. gibt auf Grund der Methoden seiner anfangs zitierten Abhandlung für die Theorie des regulären Falles eine neue Darstellung und untersucht Irregularitäten, die durch das Verschwinden mindestens einer der beiden Zahlen \(a_{00}\) und \(a_{n0}\) verursacht werden. Auch in dem letzteren Falle gelingt es Verf., wenn \(|q|\neq 1\) ist, analytische Lösungen von (1) anzugeben. Zum Schluß wird die zu (1) gehörige inhomogene Gleichung \[ \sum_{\nu=0}^{n} a_{\nu}(x)f(q^{n-\nu}x)+b(x)=0 \tag{4} \] mit \[ b(x)=b_0+b_{1}x+b_{2}x^2+\ldots \text{ für } |x|<R,\;b_0\neq 0 \] untersucht.

Reviewer: Feigl, Prof. G. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 11. Differenzenrechnung. Analytische Theorie der Kettenbrüche.