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Foundations of potential theory. (English) JFM 55.0282.01
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 31. Berlin: J. Springer. ix, 334 p. (1929).
Das vorliegende Werk wird der Zwischenstellung der Potentialtheorie gerecht, indem es einerseits mit Vorliebe physikalische Probleme zum Ausgangspunkt nimmt und immer wieder physikalische Anwendungen einstreut, aber andererseits volle mathematische Strenge wahrt und auch auf die feinsten modernen Untersuchungen eingeht. So ziemlich alles, was zur Potentialtheorie in Beziehung steht, wird mindestens gestreift, so daß der Leser zahlreiche Anregungen mitnimmt. Die Darstellung ist so gehalten, daß dem mit der Infinitesimalrechnung vertrauten Anfänger eine erfolgreiche Lektüre möglich ist.
Der Inhalt ist folgender: Kap. 1. Die Gravitationskraft. Kap. 2. Kraftfelder. Kap. 3. Das Potential.
Kap. 4. Der Gaußsche Integralsatz (Der Satz wird zuerst für gewisse sehr spezielle Bereiche bewiesen und dann in zwei Stufen auf Bereiche ausgedehnt, die von stückweise analytischen Flächen begrenzt werden. Ähnlich wird der Stokessche Satz behandelt.)
Kap. 5. Eigenschaften des Newtonschen Potentials im leeren Raum. (U. a. werden die Legendreschen Polynome und die Kugelfunktionen gebracht.)
Kap. 6. Die Eigenschaften des Newtonschen Potentials in massebelegten Punkten. (Insbesondere werden die Unstetigkeiten an Flächenbelegungen behandelt.)
Kap. 7. Das Potential als Lösung der Laplaceschen Gleichung; Elektrostatik. (Im Zusammenhang mit dem Kondensator werden allgemeine, insbesondere elliptische Koordinaten, eingeführt; das Fouriersche Integral, Besselsche und Lamésche Funktionen werden gestreift.)
Kap. 8. Harmonische Funktionen. (Eindeutigkeitssätze, die Identität der harmonischen Funktionen mit den Potentialfunktionen, der Satz vom arithmetischen Mittel und seine Umkehrung usw.)
Kap. 9. Elektrische Bilder; die Greensche Funktion.
Kap. 10. Folgen harmonischer Funktionen. (Die Harnackschen und andere Konvergenzsätze, die Harnacksche Ungleichung, Entwicklung nach Kugelfunktionen, Konvergenz auf der Kugeloberfläche, isolierte Singularitäten, Äquipotentialflächen, insbesondere in der Umgebung von Gleichgewichtspunkten.)
Kap. 11. Die grundlegenden Existenzsätze. (Nach einer historischen Einleitung werden die Randwertprobleme unter gewissen einschränkenden Bedingungen betreffend die Oberfläche des Bereichs als Integralgleichungsprobleme formuliert; dann werden die nötigen Sätze aus der Theorie der Integralgleichungen entwickelt, insbesondere für die hier auftretende Klasse unstetiger Kerne; es folgt die Anwendung auf die Randwertprobleme.
Der zweite Teil des Kapitels bringt ziemlich ausführlich die modernen Untersuchungen über die Lösbarkeit des Dirichletschen Problems nach H. Lebesgue (1912; JFM 43.0368.02, JFM 43.0368.03); (1924; JFM 50.0332.01), Verf. (1923; JFM 49.0341.03); (1928; JFM 54.0507.01, JFM 54.0507.02), G. Bouligand (1924; JFM 50.0331.01, JFM 50.0331.02), N. Wiener (1924; JFM 51.0360.05, JFM 51.0361.01, JFM 51.0361.02) u. a.; vgl. auch den Bericht des Verf: Recent progress with the Dirichlet problem, Bull. Am. Math. Soc. 32, 601–625 (1926; JFM 52.0491.01).
Kap. 12. Das logarithmische Potential. (Beziehungen zur Funktionentheorie und zur konformen Abbildung; Fouriersche Reihen, konforme Abbildung der Polygone.)
Zahlreiche Aufgaben bieten nicht nur Übungsstoff, sondern auch eine Fülle interessanter Einzelheiten. Hinweise auf die Originalliteratur, insbesondere über Dinge, die nicht oder nur knapp erörtert werden konnten, sowie eine Bibliographie sind wertvolle Ergänzungen.
Besprechungen: R. Seeliger, Phys. Z. 31, 743 (1930); G. C. Evans, Bull. Am. Math. Soc. 37, 141–144 (1931); C. N. Moore, Am. Math. Mon. 37, 543–545 (1930). (IV 4, IV 5, IV 7.)

MSC:
31-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to potential theory
31Axx Two-dimensional potential theory
31Bxx Higher-dimensional potential theory
33C55 Spherical harmonics
78A30 Electro- and magnetostatics
Full Text: EuDML