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Sur le problème de Dirichlet généralisé. II. (French) JFM 55.0285.02

Diese große Arbeit des Verf. enthält die ausführlichen Beweise der in den vorstehend besprochenen Noten ausgesprochenen Sätze. Zunächst werden eine Reihe von Sätzen über Integrale, die zu Potentialen analog sind, und die iterierten Kerne derselben hergeleitet, die ihre Stetigkeit bzw. L-Stetigkeit und die ihrer Derivierten betreffen. Es folgt die Anwendung auf (1). Verf. beweist zunächst, daß man in einer kleinen Hyperkugel durch Wechsel der Variablen (1) in eine Gleichung desselben Typus überführen kann, in der \(b_\alpha = c = 0\) ist. Die Lösung des Dirichletschen Problems wird als Summe eines verallgemeinerten Gebiets- und eines Doppelschichtpotentials mit der Dichte \(\varrho\) bzw. \(\sigma\) angesetzt, und man erhält für \(\varrho, \sigma\), ein System Fredholmscher Integralgleichungen, dessen genügend oft iterierte Kerne beschränkt ausfallen. Daraus folgt der Eindeutigkeits- und Existenzsatz der Lösung für hinreichend kleine, einfach zusammenhängende Gebiete.
Nun wird das Verhalten der Ableitungen dieser Lösung \(u\) auf dem Rande \(S\) untersucht. Sind dann \(b_\alpha, c, f, \dfrac \partial{\partial x_i} a_{\alpha\beta}\) in einem \(B\) enthaltenden Gebiet und \(\dfrac {\partial x_\alpha}{\partial \lambda_\beta}\) auf \(S\) L-stetig, \(u\) in \(B + S\) und \(\dfrac {\partial^2 u}{\partial x_i^2}\) innerhalb \(B\) stetig, so geht \(\delta \cdot \dfrac {\partial u}{\partial x_\alpha} \to 0\) zugleich mit dem Abstand \(\delta\) des Punktes \(X\) von \(S\). Sind sogar die Derivierten der nächsthöheren Ordnung L-stetig, und hat \(f_1(Y)\) auf \(S\) stetige Ableitungen, so sind die \(\dfrac {\partial u}{\partial \lambda_\beta}\) auch auf \(S\) stetig, und sogar alle Ableitungen von \(u\) L-stetig, wenn dies auch von denen von \(f_1(Y)\) gilt.
Verf. befreit nun den Existenzsatz des Dirichletschen Problems von der Kleinheitsvoraussetzung bezüglich \(B\) und zeigt, daß dessen Lösungsmöglichkeit und -anzahl stets mit der des Integralgleichungssystems bezüglich \(\varrho, \sigma\) übereinstimmt. Es folgt der Beweis für die oben formulierten Sätze betreffend die ausgezeichnete Lösung von \({\mathfrak F} (u)\).
In der Anwendung auf die nichtlineare elliptische Gleichung (3) ergibt sich folgendes: Sind die Ableitungen von \(F\) bis zur \(q\)-ten Ordnung und die von \(u\) bis zur dritten Ordnung in \(B\) L-stetig, so gilt das gleiche bis zu den \((q + 2)\)-ten Ableitungen von \(u\) in jedem in \(B\) gelegenen Bereiche. Der Satz läßt sich unter schärferen Voraussetzungen auf \(B + S\) verallgemeinern und damit der schon oben genannte Existenzsatz für das Dirichletproblem beweisen. Ist \(F\) holomorph in allen Argumenten und \(u\) bis zur dritten Ableitung L-stetig, so ist \(u\) in \(B\) auch holomorph. Ist schließlich \(u\) in \(B\) holomorph und bis zu seinen achten Ableitungen auf einem analytischen Teil von \(S\) stetig, so läßt sich u über diesen Teil von \(S\) analytisch fortsetzen.

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Full Text: DOI Numdam EuDML