Über das Gesetz des iterierten Logarithmus. (German) JFM 55.0298.01

Kolmogoroff, A.

Math. Ann. 101, 126-135 (1929).

Es bezeichne \(x_1,\dots, x_n, \dots \) eine Folge unabhängiger zufälliger Größen, deren mathematische Erwartung \(=0\) sei, ferner sei \[ S_n= \sum_1^n x_\nu, \, b_n = E (x_n^2), \, B_n= \sum_1^n b_\nu. \] In Anschluß an eine von Khintchine in Math. Ann. 96 (1926), 152 (F. d. M. 52) aufgeworfene Frage untersucht Verf. die Bedingungen, unter denen “das Gesetz des iterierten Logarithmus” gilt, d. h. daß gilt: \[ W \left( \limsup \frac {S_n}{\sqrt{2B_n\log \log B_n}} = 1 \right) = 1 \, \text{ für } n \to \infty, \] und beweist, daß sie unter den Voraussetzungen erfüllt ist: \[ B_n \to \infty \qquad \qquad (2) \qquad |x_n| \leqq m_n = o\left( \sqrt { \frac {B_n}{\log \log B_n} } \right). \tag{1} \] Ist \(|x_n| \leqq M\) für alle \(n\), so folgt (2) aus (1), und (1) ist dann notwendig und hinreichend.

Reviewer: Boehm, Dr. C. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Anwendungen.

References:

[1]	Vgl. seine Schrift ?Die Grunds?tze der Wahrscheinlichkeitstheorie?, Moskau 1927, russisch.
[2]	Mathem. Annalen99, S. 152.
[3]	Vgl. S. Bernstein, Annales des inst. savantes de l’Ucra?ne, Section math, 1.