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Closed surfaces in three-dimensional manifolds. (Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten.) (German) JFM 55.0311.03
Verf. beweist zunächst unter Benutzung des Dehnschen Lemmas und mit Methoden, die den Beweismethoden dieses Lemmas sehr ähnlich sind (vgl. Dehn, Math. Ann. 69 (1910), 137-168; F. d. M. 41, 543 (JFM 41.0543.01)) den folgenden wichtigen Hilfssatz:
Gibt es auf einer in eine dreidimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit \(M^3\) singularitätenfrei eingebetteten, geschlossenen, zweidimensionalen Mannigfaltigkeit \(M^2\) eine geschlossene Kurve, die in \(M^3\), aber nicht auf \(M^2\) homotop Null ist, so gibt es in der \(M^3\) ein Elementarflächenstück \(E^2\), das bis auf seinen auf \(M^2\) gelegenen Rand \(S^1\) zu \(M^2\) fremd ist, bis auf endlich viele Randpunkte singularitätenfrei ist, und dessen Rand \(S^1\) auf \(M^2\) nicht homotop Null ist.
Liegt insbesondere \(M^2\) im dreidimensionalen sphärischen Raum \(S^3\), so treten bei der Konstruktion des Hilfssatzes überhaupt keine Singularitäten auf. Man kann dann aus \(M^2\) einen von zwei nahe beieinander verlaufenden Kurven \(S_1^1\) und \(S_2^1\) begrenzten Streifen herausschneiden und in die entstehenden Randkurven zwei singularitätenfreie Elemente einsetzen. Da die Eulersche Charakteristik der \(M^2\) bei diesem Prozeß stets wächst, wird nach endlich vielen Schritten \(M^2\) aus einer Anzahl zueinander fremder Sphären \(S^2\) bestehen. Also:
Jede in dem \(S^3\) eingebettete \(M^2\) entsteht aus einer Anzahl von \(S^2\) durch Anhängen von Henkeln. Ist \(M^2\) zusammenhängend, so kann man dabei von einer \(S^2\) ausgehen.
In einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit \(M^3\) kann ein Reduktionsprozeß folgendermaßen definiert werden: man schneide die \(M^3\) längs einer Sphäre \(S^2\) auf und hefte an jede der beiden Rand-\(S^2\) einen Elementarraum mit seinem Rande an. Indem man \(k\) Reduktionen gleichzeitig vornimmt und die bei der Reduktion benutzten \(S_\varkappa^2\) in eine besonders einfache Lage zu der Zelleneinteilung der \(M^3\) bringt, ergibt sich, daß bei hinreichend großem \(k\) (die Schranke hängt nur von \(M^3\) ab) einer der durch Aufschneiden längs der \(S_\varkappa^2\) entstehenden Teile von \(M^3\) einen leicht zu übersehenden Aufbau hat; es folgt weiter, daß wenigstens eine der \(k\) Reduktionen trivial ist, d. h. die \(M^3\) selbst und dazu eine Sphäre \(S^3\) liefert. Die Anwendung dieses Reduktionsprozesses führt zu einer Beschreibung des Aufbaus der dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten aus irreduziblen (d. h. nur triviale Reduktionen zulassenden) Mannigfaltigkeiten durch Herausschneiden von Elementarraumstücken und Identifizieren der Ränder.
Zerfällt eine \(M^3\) durch Herausnahme einer \(S^2\) in zwei Teile mit den “Wegegruppen” (diese Bezeichnung schlägt Verf. für die sonst übliche “Fundamentalgruppe” vor) \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\), so ist die Wegegruppe von \(M^3\) das freie Produkt von \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\). Von diesem leicht zu beweisenden Satz gilt auch die Umkehrung: Wenn die Wegegruppe von \(M^3\) das freie Produkt von \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) ist, so kann \(M^3\) durch eine \(S^2\) in zwei Teile zerlegt werden, deren Wegegruppen zu \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) isomorph sind.
Der Beweis dieses Satzes beruht auf der dem üblichen Aufbau der Wegegruppe dual gegenüberstehenden Konstruktion des Gruppenkomplexes (Darstellung der Wegegruppe durch Durchgänge durch Flächenzellen). Durch geeignete Abänderungen wird erreicht, daß der Gruppenkomplex in zwei miteinander nicht zusammenhängende, den Gruppen \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) entsprechende Bestandteile zerfällt, die schließlich durch eine \(S^2\) voneinander getrennt werden können.
Leider können, wie Verf. in einem Zusatz bei der Korrektur feststellt, die unter wesentlicher Benutzung des Dehnschen Lemmas abgeleiteten Resultate der Arbeit noch nicht als gesichert gelten, da der Beweis des Lemmas eine bis jetzt noch nicht ausgefüllte Lücke enthält.

MSC:
57Mxx General low-dimensional topology
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Full Text: EuDML