Polygones de Poncelet généralisés. (French) JFM 55.0379.03

Gambier, B.

Annales École norm. (3) 46, 55-71 (1929).

\(S\) sei eine nichtabwickelbare Regelfläche und \(\overline C\) das Gebilde ihrer mehrfachen Linien. Durch einen Punkt von \(\overline C\) gehen dann mindestens zwei Erzeugende der Fläche, Wenn die Ebene derselben noch weitere nicht durch denselben Punkt gehende Erzeugenden enthält, so bekommt man bei Zentralprojektion auf eine beliebige Ebene ein Polygon, dessen Ecken auf der Projektion \(C\) von \(\overline C\) liegen, und dessen Seiten den scheinbaren Umriß \(\varGamma\) von \(S\) berühren, also ein verallgemeinertes Ponceletsches Polygon. Die Theorie dieser Polygone steht somit in wechselseitiger Beziehung mit derjenigen Regelflächen.
Sind die Kurven \(C_2\) der zweiten Ordnung und \(\varGamma_n\) der Klasse \(n\) in der Ebene beliebig angenommen, so gibt es \(\dfrac{n(n-1)(n-2)}3\) Dreiecke, welche \(C_2\) ein- und \(\varGamma_n\) umbeschrieben sind. Die Übertragung auf den Raum führt zu einer Regelfläche \(2n\)-ter Ordnung mit \(n\)-facher kubischer Raumkurve, \(\infty^1\) zweifach und \(\dfrac{n(n-1)(n-2)}3\) dreifach berührenden Ebenen. Speziell wird der Fall \(n = 3\) betrachtet.
Zu einer gegebenen \(C_2\) gibt es ferner \(\infty^{2n}\) Kurven \(\varGamma_n\), welche \(\infty^1\) \(C_2\) ein- und \(\varGamma_n\) umbeschriebene Dreiecke zulassen. Es wird eine Methode angegeben, um solche \(\varGamma_n\) zu finden. Die entsprechende Regelfläche hat eine kubische Raumkurve zur \(n\)-fachen Linie, ist vom Grade \(2n\) und besitzt an mehrfach berührenden Ebenen nur solche mit drei Berührungen.
An die vollständige Behandlung der einer \(C_2\) einbeschriebenen Dreiecke schließt sich die Verallgemeinerung auf Polygone in der \(C_2\) sowie auf Dreiecke und Polygone für eine beliebige Kurve \(C\).

Reviewer: Schönhardt, Prof. E. (Tübingen)

JFM Section:

Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 5. Algebraische Geometrie. E. Algebraische Flächen, Raumkurven und Liniensysteme.