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Vereinfachte Herstellung der Einsteinschen einheitlichen Feldgleichungen. (German) JFM 55.0499.01
Das Problem der einheitlichen Feldphysik, d. h. das Bestreben, die Gesetze des Gravitations- wie auch des elektromagnetischen Feldes aus einer gemeinsamen geometrischen Grundlage zu gewinnen, zeigte von Anbeginn die Notwendigkeit einer Verallgemeinerung der Riemannschen Geometrie des vierdimensionalen Meßraumes der allgemeinen Relativitätstheorie. Denkt man sich das raumzeitliche Kontinuum mit einem Liniengitter derart überzogen, daß in jedem Punkte die Gitterrichtungen durch die vier linear unabhängigen Vektoren eines lokalen Vierbeins gegeben sind, so erscheint dieses zugeordnete Vierbein-Feld durch 16 Funktionen bestimmt, während die Riemannsche symmetrische quadratische Metrik bereits durch zehn Funktionen erhalten wird. Bestimmt man also (in noch zu erörternder Weise) die Metrik durch die Wahl eines Vierbeinfeldes, so ist diese Bestimmung nicht eindeutig umkehrbar. Bestimmt man andererseits (in bekannter Weise) die Metrik aus den zehn Einsteinschen Gravitationsgleichungen, so erscheint – auch wenn von den vier willkürlichen in ihre Lösungen eingehenden Funktionen (Sicherung der allgemeinen Kovarianz) abgesehen wird – noch keine der möglichen Gitterstrukturen im raumzeitlichen Kontinuum bevorzugt; es besteht noch die Möglichkeit sechs weiterer gesetzmäßiger Bindungen, d. h. im Sinne des Problems, sechs weiterer physikalischer Vorschriften. Diese Freiheit zugunsten der “Geometrisierung” der elektromagnetischen Feldgleichungen auszunutzen, ist der Grundgedanke der neueren Einsteinschen einheitlichen Feldtheorie: 16 Feldgleichungen als Definition eines “Weltgitters”!
Seiner Ableitung der einheitlichen Feldgleichungen erteilt Verf. im Titel der Arbeit das Attribut “vereinfacht”, das seine Rechtfertigung in der engeren Wahl der mathematischen Hilfsmittel findet. Dabei sind natürlicherweise die Einsteinschen Originalabhandlungen die gegebenen Vergleichsobjekte. Um unter den beschränkenden Gesetzen, welchen ein (raumzeitliches) Kontinuum mit Riemannscher Metrik und fernparalleler Richtungsstraktur unterworfen werden kann, diejenigen herauszufinden, welche einer Deutung als allgemeine Naturgesetze fähig sind, ergänzt Einstein den absoluten Differentialkalkül der Riemannschen Geometrie durch einen Kalkül des Fernparallelismus, wodurch insbesondere ein zweites integrables Parallelverschiebungsgesetz gewonnen wird, dessen im allgemeinen nichtsymmetrische Verschiebungskomponenten \(\Delta_{\alpha\beta}^\sigma\) die kovariante Differentiation des Kalküls charakterisieren. Die Feldgleichungen bestehen in Differentialbedingungen für den Tensor \(\varLambda_{\alpha\beta}^\sigma = \Delta_{\alpha\beta}^\sigma \Delta_{\beta\alpha}^\sigma\), dessen identisches Verschwinden mit der Gültigkeit der euklidischen Geometrie verknüpft ist.
Unter Verzicht auf eine derartige fernparallele Übertragungstheorie benutzt Verf. lediglich Hilfsmittel und Begriffe der Theorie der Kurvenkongruenzen Riemannscher \(n\)-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, welche man hauptsächlich Ricci verdankt. Ausgangspunkt ist auch hier das Feld der (kontravarianten) Parameter \(\lambda_i^\nu\) der Kurvenkongruenzen des Kontinuums, sowie deren normierte Unterdeterminanten \(\lambda_{i|\nu}\), die (kovarianten) Momente der Kongruenzen. Die (im allgemeinen indefinite) Riemannsche Metrik ist durch \(g_{\mu\nu} = \sum\limits_ie_i\lambda_{i|\mu}\cdot\lambda_{i|\nu}\) mit \(e_i=\pm 1\) gegeben, wo die Anzahl negativer \(e_i\) den Trägheitsindex der Metrik bestimmt. Kovariante Ableitungen der Momente (in herkömmlicher Weise mit Christoffelschen Zusammenhangskomponenten!) und nachfolgende Verjüngung führt auf die Drehungskoeffizienten von Ricci \[ \gamma_{ikl} = \lambda_{i|\nu\varrho}\lambda_k^\nu\cdot\lambda_l^\varrho ; \] ein zweiter Weg benutzt zu ihrer Darstellung die bilinearen Kovarianten Pfaffscher Formen \(\lambda_{i|\nu}dx^v\), ein dritter die Poissonschen Klammern der Operatoren \(X_if = \sum\limits_\nu\lambda_i^\nu\dfrac{\partial f}{\partial x^\nu}\), ein vierter Symmetrieeigenschaften und Vertauschungsregeln kovarianter Ableitungen. Die “Kommutatorformel” der zweiten kovarianten Ableitungen der Momente liefert Riccis Vierzeigersymbole \(\gamma_{ij,hk}\), welche sich linear aus den Komponenten \(R_{\mu\nu,\varrho\sigma}\) des Riemann-Christoffelschen Krümmungstensors aufbauen und derselben Symmetrieeigenschaften erfreuen wie diese. Der Zweck dieser Entwicklungen ist zunächst, sämtliche Tensoren der Riemannschen Metrik (\(g_{\mu\nu}, R_{\mu\nu,\varrho\sigma}, G_{\mu\nu}, G\)) in “Beintensoren” überzuführen: \[ A_{i_1\ldots i_pk_1\ldots k_q} = A_{\mu_1\ldots\mu_p}^{\nu_1\ldots\nu_q}\lambda_{i_1}^{\mu_1}\cdots \lambda_{i_p}^{\mu_p}\lambda_{k_1|\nu_1}\cdots \lambda_{k_q|\nu_q}. \] Damit ist die Übertragung der Einsteinschen Gravitationsgleichungen auf beintensorielle Form gewonnen: \[ \begin{gathered} G_{ik} - \tfrac{1}{2}\delta_{ik}G = -\varkappa T_{ik}, \;G_{ik} = \sum_he_h\gamma_{ih,hk}, \;G = \sum_ke_kG_{kk} = \sum_{h,k}e_he_k\gamma_{kh,hk}; \\ e_0=1, \;e_1=e_2=e_3=-1. \end{gathered} \] Die (Bein-)Komponenten der in diesen zehn Relationen auftretenden Tensoren sind Invarianten gegenüber Koordinatentransformationen, hängen andererseits von der Wahl des Liniengitters ab, besitzen jedoch Tensoreigenschaft gegenüber Wechsel des Liniengitters vermöge (pseudo-)orthogonaler Transformationen mit örtlich veränderlichen Koeffizienten (“echte” Beintensoren). Damit ist die erste Hälfte des Programms erledigt, ohne daß ein Liniengitter des Kontinuums zum “Weltgitter” ausgezeichnet wäre.
Die Riccischen Drehungskoeffizienten \(\gamma_{ikl}\) sind Beispiele für “lokale” Beintensoren. Wie die “echten” Beintensoren sind auch sie Invarianten gegenüber Koordinatentransformationen, zeigen jedoch gegenüber Wechsel des Liniengitters nur bei Beschränkung auf (pseudo-)orthogonale Transformationen mit konstanten Koeffizienten Tensorcharakter (dritter Stufe).
Der elektromagnetische Feldtensor \(F\) ist schiefsymmetrisch und von zweiter Stufe. Dasselbe gilt von den lokalen Beintensoren: \[ \xi_{ik} = \sum_le_l\dfrac{d\gamma_{ikl}}{ds_l} \text{ und } \eta_{ik} = \sum_le_lc_l(\gamma_{lik} - \gamma_{lki} ), \] wo der Operator \(\dfrac{d}{ds_l}\) Differentiation in der \(l\)-ten Gitterrichtung und \(c_l\) die Verjüngung \(\sum_j\gamma_{jlj}\) bedeutet. So kommt Verf. zu dem allgemeinen Ansatz: \[ F_{ik} = \upsilon\xi_{ik} + \grave{\upsilon}\eta_{ik}. \] Der entscheidende Schritt besteht nun darin, den Tensor \(F\), ausgedrückt durch Linearkombinationen der schiefsymmetrischen lokalen Beintensoren zweiter Stufe, den Maxwellschen Gleichungen \[ \text{Div} F = S, \quad \text{Div}^* F = 0 \] zu unterwerfen, wobei \(S\) den “Viererstrom” und Div\(^*\) die sogenannte Pfaffsche (Tensor-)Divergenz bedeutet, d. h. einen Vektor, dessen (kontravariante) Komponenten dann und nur dann verschwinden, wenn die (schiefsymmetrischen) kovarianten Komponenten des “Divergenden” mit den Koeffizienten der bilinearen Kovarianten eines Pfaffschen Ausdruckes \(\varPhi_\nu dx^\nu\) zusammenfallen. Die acht den beiden Tensordivergenzen entsprechenden Gleichungen reduzieren sich auf sechs wesentliche, wenn man die für jeden schiefsymmetrischen Tensor zweiter Stufe \(\xi\) in vierdimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten bestehenden Identitäten: \[ \text{div} (\text{Div} \xi ) \equiv 0, \;\text{div } (\text{Div}^*\xi ) \equiv 0 \] berücksichtigt. Zusammen mit den zehn Gravitationsgleichungen erhält man 16 (allgemein kovariante) beintensorielle ”einheitliche” Feldgleichungen zur Bestimmung des “Weltgitters”.
Von den Konstanten \(\upsilon\) und \(\grave{\upsilon}\) des allgemeinen Ansatzes untersucht Verf. speziell den Fall \(\grave{\upsilon}=0\) (der Fall \(\upsilon = 0\) ist unbrauchbar); \(\upsilon\) erhält zweckmäßig die Dimension einer elektrischen Ladung oder die Dimension der Quadratwurzel aus Planckscher Konstante mal Vakuumlichtgeschwindigkeit. Dem Fall des leeren Raumes und der Abwesenheit eines elektromagnetischen Feldes entspricht ein cartesisches bzw. pseudocartesisches Weltgitter.

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