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Zur Produktzerlegung der Ideale in ganz-abgeschlossenen Ringen. (German) JFM 55.0680.02

Verf. beschäftigt sich mit Ringen, in denen folgende drei Axiome gelten: I. Der Teilerkettensatz; II. Existenz eines Nichtnullteilers; III. Ganze Abgeschlossenheit im Quotientenring.
Zur Formulierung des Resultats sind einige Definitionen nötig: Ideal bedeutet immer ein Nichtnullteilerideal, d. h. ein solches, das nicht aus lauter Nullteilern besteht. Ein “höheres Primideal” enthält keine echten Primidealvielfachen außer Nullteileridealen. Ein “höheres Ideal” ist durch mindestens ein höheres Primideal teilbar. Ein “niederes Ideal” ist durch kein höheres Primideal teilbar. Zwei Ideale \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) heißen äquivalent, wenn die Kongruenzen \[ \mathfrak c_1 \mathfrak a = 0 (\mathfrak b), \quad \mathfrak c_2 \mathfrak b = 0 (\mathfrak a) \] mit niederen Idealen \(\mathfrak c_1\) und \(\mathfrak c_2\) bestehen.
Dann gilt: Jedes Ideal ist einem Produkt von Primidealen äquivalent. Die Faktorenzerlegung eines höheren Ideals in höhere Primidealfaktoren ist eindeutig. (Die Äquivalenz kann nicht durch Gleichheit ersetzt werden.)
Als Anwendung werden die Primdivisoren in algebraischen Funktionenkörpern behandelt. (Vgl. dazu E. Noether, Math. Ann. 96 (1926), 26-61; F. d.M. 52.)

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References:

[1] E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl-und Funktionenk?rpern, Math. Annalen96 (1926), S. 26. · JFM 52.0130.01
[2] Das bei E. Noether vorkommende ?Axiom III? (Existenz des Einheitselements) ist Folge der ganzen Abgeschlossenheit; denn das Einheitselement des Quotientenk?rpers ist verm?ge der Gleichunge 2=e immer ganz.
[3] H. Grell, Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe, Math. Annalen97 (1927) S. 490, ?? 1, 6. · JFM 53.0116.03
[4] W. Krull, Zur Theorie der allgemeinen Zahlringe, Math. Annalen99 (1928), S. 51. · JFM 54.0157.01
[5] H. W. E. Jung, Primteiler und ihr Verhalten bei birationalen Transformationen, Rendicontidi Palermo26 (1908), S. 113, sowie verschiedene sp?tere Arbeiten desselben Autors. · JFM 39.0492.02
[6] R. Dedekind und H. Weber, Algebraische Funktionen einer Ver?nderlichen, Crelle92 (1882), S. 181.
[7] Zusatz bei der Korrektur. Weitere idealtheoretische Eigenschaften der hier besprochenen Ringe werden in der anschlie?enden Arbeit des Verfassers: ?Zur Idealtheorie der ganz-abgeschlossenen Ringe? behandelt.
[8] W. Krull, ?ber Primidealketten, Sitzungsber. Heidelb. Akademie 1928.
[9] Zusatz bei der Korrektur. Man vergleiche indessen die anschlie?ende Arbeit des Verfassers, wo die ganze Abgeschlossenheit noch weiter idealtheoretisch ausgebeutet wird und die Umkehrung gelingt.
[10] , S. 26 ? 7, 2. · JFM 52.0130.01
[11] Sind Nullteiler vorhanden, so k?nntea Nullteiler werden, und der Beweis wird hinf?llig. Der Satz gilt auch in diesem Fall; es lohnt sich aber nicht, den (viel komplizierteren) Beweis anzuf?hren.
[12] F?r den gew?hnlichen Fall der Erweiterungen erster Art siehe. (Math. Annalen96). F?r Erweiterungen zweiter Art siehe E. Artin und B. L. van der Waerden, Die Erhaltung der Kettens?tze der Idealtheorie, G?tt. Nachr. 1926, S. 23. · JFM 52.0130.01
[13] B. L. van der Waerden, Zur Nullstellentheorie der Polynomideale, Math. Annalen96, (1926), S. 183.
[14] H. W. E. Jung, Primteiler und ihr Verhalten bei birationalen Transformationen, Rendiconti di Palermo26 (1908), S. 113. An der Jungschen Formulierung ist auszusetzen, da? sie das m?gliche Auftreten des Symbols ? nicht erw?hnt, was hier berichtigt wurde. Das Jungsche Wort ?Primteiler? wurde, um der m?glichen Verwechslung mit Primidealteiler vorzubeugen (Divisoren sind n?mlich keine Ideale, k?nnen aber, wie die Ideale, als Teiler von Funktionen des K?rpers auftreten), durch, ?Primdivisor? ersetzt. Mit den sp?teren, zum Teil weniger verst?ndlichen Jungschen Definitionen (z. B. im Buch ?Theorie der algebraischen Fl?chen?) ist immer derselbe Begriff gemeint. · JFM 39.0492.02
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