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Idealtheorie in Ringen mit Teilkettensatz ohne Endlichkeitsbedingung. (German) JFM 55.0681.01
Die Gesamtheit der durch ein Primideal \(\mathfrak p\) nicht teilbaren Elemente bildet ein multiplikativ abgeschlossenes System \(\mathfrak S_{\mathfrak p}\). Ein wichtiges Hilfsmittel der Arbeit ist der folgende Satz über alle multiplikativ abgeschlossenen Systeme \(\mathfrak S\) in einem beliebigen Ring: Wenn \(\mathfrak S\) kein Element aus einem vorgegebenen Ideal \(\mathfrak a\) enthält, dann gibt es stets einen Primidealteiler \(\mathfrak p\) von \(\mathfrak a\), der zu \(\mathfrak S\) elementefremd ist und die Eigenschaft hat, daß in jedem echten Teiler von \(\mathfrak p\) mindestens ein Element aus \(\mathfrak S\) vorkommt.
Die zu einem Ideal \(\mathfrak a\) nichtprimen Elemente verteilen sich auf die “niedersten Primideale” (zu \(\mathfrak a\) nichtprime Primideale, für die jeder echte Teiler mindestens ein zu \(\mathfrak a\) primes Element enthält). Jedes niederste Primideal eines isolierten Komponentenideals \(\mathfrak a_{\mathfrak S}\) von \(\mathfrak a\), das durch ein beliebiges multiplikativ abgeschlossenes System \(\mathfrak S\) bestimmt ist (zur Definition s. van der Waerden, Math. Ann. 99 (1928), 497-541; F. d. M. 54,141), ist durch ein niederstes Primideal von \(\mathfrak a\) teilbar; zwei isolierte Komponentenideale von \(\mathfrak a\) mit denselben niedersten Primidealen sind identisch.
Jedes Ideal hat “höchste” Primidealteiler, für die kein echtes Primidealvielfaches noch Teiler von \(\mathfrak a\) ist. Das isolierte Komponentenideal \(\mathfrak q_{\mathfrak p}\) eines höchsten Primideals ist ein zu \(\mathfrak p\) gehöriges Primärideal, das der Durchschnitt aller derjenigen zu \(\mathfrak p\) gehörigen Primärideale ist, die \(\mathfrak a\) enthalten. \(\mathfrak p\) ist für die zugehörigen Primärideale das einzige höchste und niederste Primideal. Sind in einem Ring mit Einselement die höchsten Primideale von \(\mathfrak a\) teilerlos, so ist \(\mathfrak a\) als Durchschnitt von zu verschiedenen Primidealen gehörigen Primäridealen darstellbar. In jedem Ring ist jedes Ideal \(\mathfrak a\) Durchschnitt seiner Hauptkomponenten, d. h. der isolierten Komponentenideale, die zu niedersten Primidealen gehören.
Zum Schluß werden die Beziehungen zwischen den zu \(\mathfrak a\) “gehörigen” Primidealen und den isolierten Komponentenidealen untersucht.

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References:
[1] Zum Beweis vgl. K. III ? 1, Satz 3 und Anm.5). Vgl. auch Satz 5, wo die im Text erw?hnte Durchschnittsdarstellung durch Prim?rkomponenten f?r die Ideale eines Ringes aus ganzen algebraischen Zahlen angegeben ist.
[2] Zum Begriff der h?chsten Primideale vgl. K. II ? 2.?Das Wort ?halbprim? habe ich gew?hlt, weil bei dieser Terminologie im (nichtkommutativen) Fall der endlichen hyperkomplexen Systeme das Nullideal eines halbeinfachen Systems halbprim ist.
[3] A ? soll aus allen den Ringelementen bestehen, die inW als Index eine Ordnungszahl ?<? besitzen.
[4] Zur Definition des Prim?rideals vgl. N. I. ? 4, N. II ? 5.?In der strengen Terminologie von N. II m??ten wir von ?schwachen? Prim?ridealen reden.
[5] R. H?lzer, Zur Theorie der prim?ren Ringe, Math. Annalen96 (1927), S. 713 bis 735, ? 1.
[6] Zur Theorie der eindeutigen addtiven Zerlegung vgl. z. B. N. II ? 4 u. ? 5.?Beispiele f?r eindeutig additive Zerlegung in unendlich viele Unterringe bei H. Pr?fer, Neue Begr?ndung der algebraischen Zahlentheorie, Math. Annalen94(1925), S. 198 bis 243, ? 5 u. ? 7, sowie bei J. v. Neumann, Zur Pr?ferschen Theorie der idealen Zahlen, Szegeder Berichte 1926. · JFM 51.0140.14
[7] Vgl. z. B. E. Stiemke, ?ber unengliche algebraische Zahlk?rper, Math. Zeitschr.25 (1926).
[8] Vgl. N. I. ? 5.
[9] Bei Ringen mit Quotienten- und Primidealkettensatz ist die Definition mit der von K. II ? 3 ?quivalent.
[10] Vgl. N. I ? 7, K. I ? 4, K. II ? 4.
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