×

Ideale in kommutativen Halbgruppen. (German) JFM 55.0681.03

\(\mathfrak g\) sei eine kommutative Halbgruppe, d. h. ein Bereich von Elementen, zwischen denen eine eindeutige – nicht notwendig umkehrbare – assoziative und kommutative Multiplikation definiert ist, bei der aus \(\alpha \xi = \beta\xi\) für jedes \(\xi(\neq 0)\) \(\alpha =\beta\) folgt. Das Null- und das Einselement können, falls sie noch nicht in \(\mathfrak g\) enthalten sind, unter Beachtung der üblichen Rechenregeln zu \(\mathfrak g\) hinzugefügt werden. Unter der zu \(\mathfrak g\) assoziierten Gruppe \(\overline{\mathfrak g}\) wird die Gruppe verstanden, die aus den mit den Elementen von \(\mathfrak g\) formal gebildeten Quotienten mit der üblichen Gleichheits- und Multiplikationsdefinition besteht. In \(\overline{\mathfrak g}\) übernimmt g die Rolle des Bereichs der ganzen Elemente, wodurch die Teilbarkeit definiert ist.
Endlich viele Elemente \(\alpha_1, \alpha _2, \ldots, \alpha_n\) von \(\mathfrak g\) definieren in \(\mathfrak g\) ein Aggregat (\(\alpha_1, \alpha _2, \ldots, \alpha_n\)) – das Analogon der linearen Verbindungen von \(\alpha_1, \alpha _2, \ldots, \alpha_n\) mit ganzen Koeffizienten im Ring – durch die Vorschrift: Ein Element \(\alpha\) von \(\mathfrak g\) gehört dann und nur dann zu (\(\alpha_1, \alpha _2, \ldots, \alpha_n\)), wenn aus \(\overline{\tau} \subset \overline{\mathfrak g}\) und \(\alpha_\nu \overline{\tau} \subset \mathfrak g (\nu =1, 2, \ldots, n)\) immer \(\alpha\overline{\tau} \subset \mathfrak g\) folgt. Eine Teilmenge \(\mathfrak b\) von \(\mathfrak g\) heißt ein Ideal, wenn bei jeder Wahl der (endlich vielen) Elemente \(\beta_1, \beta _2, \ldots, \beta_m\) aus \(\mathfrak b\) das ganze Aggregat (\(\beta_1, \beta _2, \ldots, \beta_m\)) in \(\mathfrak b\) enthalten ist. Insbesondere ist jedes Aggregat ein Ideal mit endlicher Basis.
Unter Zugrundelegung der von E. Noether in der Arbeit “Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in Ringbereichen” (Math. Ann. 96 (1926), 26-61; F. d. M. 52) gegebenen Definitionen der Teilbarkeit, des größten gemeinsamen Teilers, des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, des Produktes und des Quotienten von Idealen läßt sich nun -wie Verf. kurz andeutet – eine Idealtheorie aufbauen. Die Gültigkeit des Teilerkettensatzes für Aggregate erweist sich auch hier als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß jedes Ideal eine endliche Basis besitzt. Dagegen folgt aus dem beschränkten Vielfachkettensatz nicht – wie das bei Ringen der Fall ist – die Teilerlosigkeit der Primideale. – Wenn die Halbgruppe ein Ring ist, stimmt die Definition der Verf. mit der Dedekindschen Idealdefinition überein.
Verf. beweist schließlich den folgenden Umkehrungssatz: Wird die Halbgruppe \(\mathfrak H\) in eine Halbgruppe \(\mathfrak H\) isomorph eingebettet, so daß (1) jedes Element von \(\mathfrak H\) eindeutig als Produkt von Primelementpotenzen darstellbar ist, (2) für Elemente \(\alpha, \beta\) von \(\mathfrak g\) aus der Teilbarkeit von \(\alpha\) durch \(\beta\) in \(\mathfrak H\) die in \(\mathfrak g\) folgt und (3) zu jedem Elementepaar \(\mathfrak a\), \(\mathfrak b\) von \(\mathfrak H\) ein zu \(\mathfrak b\) primes Element \(\mathfrak c\) in \(\mathfrak H\) existiert, für das \(\mathfrak a\mathfrak c\) in \(\mathfrak g\) liegt, so ist \(\mathfrak H\) zu der Halbgruppe der Ideale von \(\mathfrak g\) isomorph, und jedes Ideal von \(\mathfrak g\) besitzt eine endliche Basis.

PDFBibTeX XMLCite