Albert, A. A. On the structure of normal division algebras. (English) JFM 55.0682.01 Annals of Math. (2) 30, 322-338 (1929). Jedes Element \(\xi\) aus einer linearen assoziativen Algebra \(\mathfrak A\) über einem unendlichen Körper, das dieselbe Minimalgleichung befriedigt wie \(x\subset \mathfrak A\), ist eine Transformierte von \(x\) mit einem Element aus \(\mathfrak A\). – \(x\) heißt vom Typus \(R_k\), wenn \(k - 1\) voneinander verschiedene Polynome in \(x\) die Minimalgleichung von \(x\) befriedigen, vom Typus \(S_k\), wenn \(x\) vom Typus \(R_k\) und nicht vom Typus \(R_{k+1}\) ist. Die normale Divisionsalgebra \(\mathfrak A\) der Ordnung \(n^2\) heißt vom Typus \(R_k\) bzw. \(S_k\), wenn es in \(\mathfrak A\) ein Element \(n\)-ten Grades vom Typus \(R_k\) bzw. \(S_k\) gibt. Es ergibt sich die Aufgabe, die Algebren nach ihren Typen einzuteilen. Hierüber werden einige spezielle Sätze bewiesen.Ist in der assoziativen Divisionsalgebra \(\sum\) über dem Grundkörper \(K\) eine Zuordnung der Elemente \(A \to A'\) so definiert, daß \(\alpha ' = \alpha\) für \(\alpha \subset K\), und daß aus \(A \to A'\), \(B\to B'\) folgt \[ (AB)' = A'B',\quad (A + B)' = A' + B', \] dann gehört zu \(\sum\) eine assoziative Algebra \(\varGamma\) über \(K\), die aus den Elementen \[ A_0 + A_1z + \cdots + A_{p-1}z^{p-1} \] besteht (Dickson). Es ist \[ zA = A'z; \quad z^p = s\subset \sum,\quad s'= s. \] \(p\) bestimmt sich aus der Bedingung \[ A^{(p)} = (A^{(p-1)})' = sAs^{-1}. \] Algebren, die sich auf diese Weise in mehreren Schritten aus einem algebraischen Körper über \(K\), eventuel noch mit direkter Produktbildung, aufbauen lassen, können als “bekannt” angesehen werden. Es gilt folgender Satz: \(\mathfrak A\) sei eine normale lineare Divisionsalgebra in \(n^2m^2\) Einheiten, die eine “bekannte” lineare normale Divisionsalgebra \(\mathfrak S\) in \(n^2\) Einheiten über einem Körper \(m\)-ten Grades \(K(q)\) enthält. \(\mathfrak A\) ist dann und nur dann “bekannt” über \(\mathfrak S\) als Grundalgebra, wenn die Minimalgleichung für \(q\) zyklisch ist. Reviewer: Fenchel-Sperling, Käthe (Kopenhagen) Cited in 3 Documents JFM Section:Zweiter Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Algebra. PDFBibTeX XMLCite \textit{A. A. Albert}, Ann. Math. (2) 30, 322--338 (1929; JFM 55.0682.01) Full Text: DOI