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The rank function of any simple algebra. (English) JFM 55.0683.03

Ist \(\mathfrak A\) eine lineare assoziative Algebra mit Haupteinheit der Ordnung \(a\) über dem algebraischen Körper \(K (v)\), der von \(n\)-tem Grade über dem unendlichen Körper \(K\) ist, so wird \(\mathfrak A\) in bezug auf \(K\) von der Ordnung \(an\). Sind \(u_1, u_2,\ldots, u_a\) die Basisgrößen von \(\mathfrak A\) in bezug auf \(K (v)\), so stellt sich das allgemeine Element von \(\mathfrak A\) in der Form \[ x = \sum _{\alpha=1}^a u_\alpha \xi_\alpha \] mit in \(K(v)\) variablem \(\xi_\alpha\) dar. Aus der Irreduzibilität der Ranggleichung \(r\)-ten Grades von \(\mathfrak A\) in bezug auf \(K (v)\) im Körper ihrer Koeffizienten, die Polynome in \(K (v, \xi_1, \ldots, \xi_a)\) sind, folgt die Irreduzibilität der Ranggleichung von \(\mathfrak A\) in bezug auf \(K\) im Körper ihrer Koeffizienten, die Polynome in \(K(\xi_1, \ldots, \xi_a)\) sind. Der Grad dieser Gleichung ist \(nr\).
Wählt man \(\mathfrak A\) als einfache Algebra, dann läßt sich \(\mathfrak A\) bekanntlich als direktes Produkt einer Divisionsalgebra (der Ordnung \(b\)) und einer vollständigen Matrixalgebra (der Ordnung \(r^2\)) darstellen. Da \(b\) von der Form \(b= t^2s\) ist, ergibt sich \(a = r^2t^2s\). Mit Hilfe der obengenannten Ergebnisse erhält man dann: Die Rangfunktion von \(\mathfrak A\) bezüglich \(K\) ist irreduzibel im Körper ihrer Koeffizienten und vom Grad \(rts\).

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